2019届高考数学二轮复习专题一函数第5讲函数的综合应用学案

1。内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯第5讲函数的综合应用1.函数是高中数学的主线，历年高考中，占的比分比较大，常常和导数知识结合进行综合考查，所以需要熟练掌握常见的函数模型．如二次函数、三次函数、指数和对数函数、简单的分式函数等．2.函数中的单调性问题、最值问题、恒成立问题、存在性问题、零点问题等是常见的题目题型，其中数形结合、分类讨论思想会在其中充分展现．1.(2018·如东中学)函数y＝(13)x2的值域是________．答案：(0，1]解析：因为x2≥0，所以13x2≤1，即值域是(0，1]．2.(2018·通大附中)已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．答案：(0，＋∞)解析：因为0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7，所以0.71.3＜1.30.7，所以m＞0.3.(2018·苏州暑假测试)已知函数f(x)＝x2＋abx＋a＋2b.若f(0)＝4，则f(1)的最大值是________．答案：7解析：由f(0)＝4得a＋2b＝4，即a＝4－2b.而f(1)＝1＋ab＋4＝5＋ab＝5＋2b(2－b)≤7(当且仅当b＝1，a＝2时取等号)．4.(2018·宝鸡模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.答案：20解析：设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得x40＝40－y40，解得y＝40－x，所以矩形面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.,一)函数性质的综合应用,1)已知函数f(x)＝4x－2x，实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，设a＝2s＋2t，b＝2s＋t.(1)当函数f(x)的定义域为[－1，1]时，求f(x)的值域；(2)求函数关系式b＝g(a)，并求函数g(a)的定义域；(3)求8s＋8t的取值范围．解：(1)若x∈[－1，1]，令m＝2x∈[12，2]，2f(x)＝l(m)＝m2－m＝(m－12)2－14在[12，2]上为增函数，f(x)min＝l(m)min＝l(12)＝－14，f(x)max＝l(m)max＝l(2)＝2，所以f(x)的值域为[－14，2]．(2)实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，则4s－2s＋4t－2t＝0，则(2s＋2t)2－2×2s＋t－(2s＋2t)＝0，而a＝2s＋2t，b＝2s＋t，所以a2－2b－a＝0，b＝g(a)＝12(a2－a)．由题意得b0，a0，则12(a2－a)0，所以a1.又2s＋2t≥2×(2s＋2t2)2，即a≥a22，所以a≤2，当且仅当s＝t时取得等号．综上所述，g(a)的定义域为(1，2]．(3)8s＋8t＝(2s＋2t)(4s－2s×2t＋4t)＝a(a2－3b)＝a(a2－32a2＋32a)＝－12a3＋32a2，a∈(1，2]．令h(a)＝－12a3＋32a2，a∈(1，2]，h′(a)＝－3a22＋3a＝－32a(a－2)≥0在(1，2]上恒成立，所以h(a)在(1，2]上单调递增，h(a)∈(1，2]，所以8s＋8t∈(1，2]．(2018·苏州暑假测试)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x，若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：－∞，－32解析：(解法1：利用解析式)当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得f(x)＝2|x|，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)，得2|x＋a|≥(2|x|)2，即|x＋a|≥|2x|对于x∈[a，a＋2]恒成立，即(3x＋a)(x－a)≤0对于x∈[a，a＋2]恒成立，即（3a＋a）（a－a）≤0，[3（a＋2）＋a]（a＋2－a）≤0，解得a≤－32.(解法2：偶函数的性质)当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得f(x)＝2|x|，x∈R，易证f2(x)＝f(2x)，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)得|x＋a|≥|2x|对于x∈[a，a＋2]恒成立，下同解法1.,二)函数的实际应用,2)(2017·常州期末)某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15(x－k＋4500x)L，其中k为常数，且60≤k≤100.(1)若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过9L，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100km的油耗的最小值．3解：(1)由题意，当x＝120时，15(x－k＋4500x)＝11.5，所以k＝100.由15(x－100＋4500x)≤9，得x2－145x＋4500≤0，所以45≤x≤100.因为60≤x≤120，所以x的取值范围是[60，100]．(2)设该汽车行驶100km的油耗为yL，则y＝100x·15(x－k＋4500x)＝20－20kx＋90000x2(60≤x≤120)．令t＝1x，则t∈[1120，160]，所以y＝90000t2－20kt＋20＝90000(t－k9000)2＋20－k2900，对称轴为直线t＝k9000.因为60≤k≤100，所以k9000∈[1150，190]．①若1120≤k9000≤190，即75≤k≤100，则当t＝k9000，即x＝9000k时，ymin＝20－k2900；②若1150≤k9000＜1120，即60≤k＜75，则当t＝1120，即x＝120时，ymin＝1054－k6.答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100km的油耗的最小值为(20－k2900)L；当60≤k＜75时，该汽车行驶100km的油耗的最小值为(1054－k6)L.点评：解函数应用题的步骤：(1)正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2)用相关的函数知识进行合理的设计，确定最佳的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3)把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)．(2018·苏州调研)如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB为2米，梯形的高为1米，CD为3米，上部CmD︵是个半圆，固定点E为CD的中点．MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD平行．当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风)．(1)设MN与AB之间的距离为x(0≤x52且x≠1)米，试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数y＝S(x)；(2)当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S取得最大值？解：(1)当0≤x1时，过A作AK⊥CD于K(如图)，4则AK＝1，DK＝CD－AB2＝12，HM＝1－x，由AKDK＝MHDH＝2，得DH＝HM2＝1－x2，所以HG＝3－2DH＝2＋x，所以S(x)＝HM·HG＝(1－x)(2＋x)＝－x2－x＋2.当1x52时，过E作ET⊥MN于T，连结EN(如图)，则ET＝x－1，TN＝MN2＝322－（x－1）2＝94－（x－1）2，所以MN＝294－（x－1）2，所以S(x)＝MN·ET＝294－（x－1）2·(x－1)，综上，S(x)＝－x2－x＋2，0≤x1，2（x－1）94－（x－1）2，1x52.(2)当0≤x1时，S(x)＝－x2－x＋2＝－x＋122＋94在[0，1)上递减，所以S(x)max＝S(0)＝2；当1x52时，S(x)＝2(x－1)94－（x－1）2≤2·（x－1）2＋94－（x－1）22＝94，当且仅当x－1＝94－（x－1）2，即x＝324＋1∈(1，52)时取“＝”，所以S(x)max＝94，此时S(x)max＝942，所以S(x)的最大值为94，答：当MN与AB之间的距离为(324＋1)米时，通风窗的通风面积S取得最大值．,三)新定义函数问题,3)定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2，2]的最大值为________．答案：6解析：由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，5所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.点评：新定义和新概念型创新题的特点：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情景知识，然后在这个新情景下，综合所学知识并利用新知识作解题工具使问题得到解决．特别对于图表信息型创新题要从题目所给出的图表中读出命题信息，掌握主要数据，研究它的相关性质和结论．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是________．答案：(－94，－2]解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一平面直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2，3]时，y＝x2－5x＋4∈[－94，－2]，故当m∈(－94，－2]时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象有两个交点．,四)利用函数解决不等式问题,4)(2017·南通海安中学模考)已知a∈R，函数f(x)＝12x－a.(1)当a＝0时，解不等式f(x)1；(2)若a0，求函数y＝2f(x)－f(2x)的零点个数；(3)设a0，若对于t∈R，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，不等式f(x)1即12x1，解得x0.(2)2f(x)－f(2x)＝22x－a－122x－a＝2×22x－2x－a（2x－a）（22x－a）.考查关于x的方程2×22x－2x－a＝0解的情况：令2x＝t(t＞0，t≠a且t≠a)，方程为2t2－t－a＝0，则Δ＝1＋8＞0.当a＝1时，2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12，方程无解，即函数无零点；当a＞0且a≠1时函数有2个零点．因此，当a＝1时，函数y＝2f(x)－f(2x)的零点个数为0；当a0，且a≠1时，零点个数为2.(3)因为函数y＝2x在R上是单调增函数，所以当x1x2时，2x12x2.6又a0，所以02x1－a2x2－a.而函数y＝1x在(0，＋∞)上是单调减函数，所以12x1－a12x2－a，即f(x1)f(x2)．故函数f(x)＝12x－a(a0)在R上是单调减函数．于是函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)和f(t＋1)．由题设知对于t∈R，f(t)－f(t＋1)≤1恒成立，即12t－a－12t＋1－a≤1，变形并整理得2×22t－(3a＋1)2t＋a2≥0(*)恒成立．①若3a＋1≤0，即a≤－13，则(*)恒成立；②若3a＋10，即a＞－13，则(*)变形为2(2t－3a＋14)2＋a2－（3a＋1）28≥0，由(*)恒成立得a2－（3a＋1）28≥0，解得－13a≤22－3.综上，实数a的取值范围是(－∞，22－3]．已知f(x)＝logax，g(x)＝2loga(2x＋t－2)(a＞0，a≠1，t∈R)．(1)当t＝4，x∈[1，2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a的值；(2)当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．解：(1)当