高中数学必修五课件：1.1.1-2《正弦定理》课件(人教A版必修5)

高中数学必修51.上网活动：“美丽的山河”图片搜索，感受到自然界的美。2.教师导语：自然界神奇美丽，要揭开其神秘的面纱，需要借助于很多数学知识。导入：ABC设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）ABC设问若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出A、B两点间的距离吗？正弦定理是什么？有哪些证明方法？集体探究学习活动一：RTX讨论一：直角三角形中边角关系有哪些？你能总结出一个式子吗？这个式子对所有三角形都适用吗？在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:caAsincbBsin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc数学建构在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即RTX讨论二：正弦定理有哪些推导方法？(1)若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有证法1(2)若三角形是锐角三角形,如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立．CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2AcbCBDa利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.αbacDBCACACBABCABC不妨设有中在证法.,2于是如图于作过点为最大角,,,DBCADA,ADACADBAADACBAADBC,cos||||cos||||ADACBADBA0900即,sinsin.,0900CbBcCC故可得为钝角时.sinsinsin,sinsin,sinsinCcBbAaCcAaCcBb所以同理得即RTX讨论三：以上证明方法体现了一种什么样的数学思维规律？答体现了由特殊到一般的数学思维规律。1.利用正弦定理可以解决哪两类解斜三角形的问题？2.在“已知两边及其中一边对角”解三角形问题中解的情况有几种？集体探究学习活动二：RTX讨论四：什么叫解三角形？利用正弦定理可以解决哪两类三角形的问题？提醒：三角形是由3条边和3个角组成的，那么我们在运用“正弦定理”解三角形时，只需知道其中几个量，就可求出余下的几个量？有没有前提条件？结论正弦定理的运用条件：1.已知三角形的两角及任一边；2.已知三角形的两边及其一边所对的角。已知三角形的的某些边和角，求其他边和角的过程叫做解三角形。数学建构正弦定理有哪些方面的应用？集体探究学习活动三：例1.,sinCcsinBbsinAaQ00050B,100C,30A:解Q15.32sin3010sin50sinAasinBb00c(精确到0.01)求b,10,a,100C,30A在ΔABC中,19.70sin3010sin100sinAasinCc002和19.70c的长分别为15.3因此b,ABCbc1010030数学应用：例2已知a=16，b=，A=30°解三角形。解：由正弦定理sinBbsinAa得2316sin30316absinAsinB所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°32.cC=30°.16sinAasinCc316当Ｂ＝120°时B16300ABC16316变式:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理sinBbsinAa得30133026sin30absinAsinB所以Ｂ＝25.70,C=1800-A-B=124.30,49.57sinAasinCc∵ab∴AB,三角形中大边对大角RTX讨论五：为什么在“已知两边及其中一边对角”解三角形问题中有一解、两解和无解三种情况？课堂练习课本第9页练习第2、3题RTX讨论六：已知两边及夹角，怎样求三角形面积？证明：∵acsinB21bcsinA21absinC21SΔABCBACDabcaΔABCah21S而bsinCsinBcADha∴absinC21acsinB21SΔABC同理∴acsinB21bcsinA21absinC21SΔABChabcsinA21SΔABC数学建构三角形面积公式：RTX讨论七：正弦定理有哪些方面的应用？1m)到求山的高度BC(精确,5又测得山顶的仰角为6后到达D处,的斜坡前进1000m沿倾斜角为20,35角为下A处测得山顶B的仰例3.某登山队在山脚01000DACEB2065数学应用：1000DACEB6520解：过点D作DE//AC交BC于E,160ADE,20DAC于是，13565160360ADB152035BAD又30ABD定理得：在ΔABD中，由正弦(m).21000sin301000sin135ABDsinADBADsinAB在RtΔABC中，811(m)sin3521000ABsin35BC答：山的高度约为811米。课堂练习做课本第11页第3题，求出上海东方明珠电视塔的高度，并上网查询验证。.试判断ΔABC的形状,cosCccosBbcosAa已知例4.在ΔABC中,解：由正弦定理，得k,sinAa令ksinCcksinB,bksinA,a代入已知条件，得：cosCsinCcosBsinBcosAsinA即tanCtanBtanAC,BAπ),(0,CB,又A,形。从而ΔABC为正三角π-ββααDABC.,,,DCBDACABBACADABC用正弦定理证明的平分线是中在如图例5,,,CADBDABAD则设解中分别运用正和在ACDABDCDA..sinsinsinsin,sinsin,DCACBDAB得弦定理.,DCBDACABDCACBDAB即所以RTX探讨八：请回顾本节课所学内容，并在RTX平台上展示对本三连堂内容学生个人小结和集体小结：教师课堂总结三角形中的边角关系正弦定理定理内容定理证明定理应用课堂总结1.已知三角形的两角及任一边；2.已知三角形的两边及其一边所对的角。CcBbAasinsinsin课堂作业：1.课本第10-11页1、2、4、5、6题;2.学习与评价第1、3页。创新型作业或异想天开，提出新问题与方法请给出一个三角形是正三角形的条件并能用正弦定理证明。