2019中考数学第一轮复习-第5章第19讲-矩形、菱形、正方形(共25张PPT)

第五章四边形与相似第19讲矩形、菱形、正方形考点梳理过关考点1矩形定义有一个角是①__直角__的平行四边形叫做矩形，也称为②__长方形__性质矩形是特殊的平行四边形，一方面具有平行四边形的所有性质，另一方面还单独具有自己的性质：(1)四个角都是③__直角__；(2)对角线④__相等__；(3)矩形既是⑤__轴对称图形__，对边中点所确定的直线是它的对称轴；也是⑥__中心对称图形__，⑦__对角线的交点__是它的对称中心判定矩形的判定方法有以下四种：(1)用定义判定；(2)四个角都是⑧__直角__的四边形是矩形；(3)对角线⑨__相等__的平行四边形是矩形；(4)对角线相等且⑩__互相平分__的四边形是矩形考点2菱形定义有一组①__邻边相等__的平行四边形叫做菱形性质菱形的性质有两方面：一方面具有平行四边形所有的性质，另一方面是菱形独有的性质：(1)菱形的四条边都②__相等__；(2)菱形的对角线③__互相垂直__，并且每条对角线都平分④__一组对角__；(3)菱形是⑤__轴对称图形__，它有⑥__两__条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线所在的直线；菱形也是⑦__中心对称图形__，对称中心是对角线的⑧__交点__判定菱形的判定方法有：(1)定义；(2)四条边都相等的⑨__四边形__是菱形；(3)对角线⑩__互相垂直__的平行四边形是菱形定义一组①__邻边相等__的矩形叫做正方形，或者说有一组邻边相等并且有一个角是直角的②__平行四边形__叫做正方形．正方形的定义还可以叙述成：“有一个角是直角的③__菱形__”性质正方形的性质包括两方面：(1)正方形具备平行四边形、菱形、矩形的所有性质；(2)特殊性质：①正方形的四个角都是④__直角__，四条边都⑤__相等__；②正方形的两条对角线⑥__相等__，并且互相垂直平分，每条对角线都平分一组对角，把一对直角分成⑦__45°__角；③正方形既是⑧__中心对称图形__又是⑨__轴对称图形__，有⑩__四__条对称轴判定正方形的判定方法有很多，可以归纳为：既是矩形又是菱形的四边形就是正方形考点3正方形典型例题运用类型1矩形的性质与判定【例1】如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为()(1)DC＝3OG；(2)OG＝BC；(3)△OGE是等边三角形；(4)S△AOE＝SABCD.CA．1个B．2个C．3个D．4个2161C∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG＝AG＝GE＝AE.∵∠AOG＝30°，∴∠OAG＝30°，∠GOE＝90°－∠AOG＝90°－30°＝60°.∴△OGE是等边三角形，故(3)正确；设AE＝2a，则OE＝OG＝a，由勾股定理，得AO＝.∵O为AC中点，∴AC＝2AO＝2.∴BC＝.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝3a.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a.∴DC＝3OG，故(1)正确；∵OG＝a，∴OG≠，故(2)错误；∵S△AOE＝SABCD＝3a·∴S△AOE＝2122a3-a3261）（）（a3a-a2OE-AE2222）（a3a3a3221AC2123BC21BC21，2a23a3a21，2a33a361SABCD，故(4)正确．综上所述，结论正确是(1)(3)(4)，共3个．【例2】已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在边AB、BC上，且BE＝BF，射线EO、FO分别交边CD、AD于点G、H.(1)求证：四边形EFGH为矩形；(2)若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AD∥BC.∴∠BAO＝∠DCO，∠AOE＝∠COG.∴△AOE≌△COG(ASA)．∴OE＝OG.同理，得OH＝OF.∴四边形EFGH是平行四边形．∵BE＝BF，∠ABD＝∠CBD，OB＝OB，∴△EBO≌△FBO.∴OE＝OF.∴EG＝FH.∴四边形EFGH是矩形．(2)∵垂线段最短，∴当OE⊥AB时，OE最小．∵OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，∴AB＝5.∴OA·OB＝AB·OE.∴3×4＝5×OE.∴OE＝.∵OE＝OG，∴EG＝答：EG的最小值是2121512524524技法点拨►矩形的判定思路：(1)若给出的图形是一般的四边形，思路一：证明有三个角是直角，思路二：先证明为平行四边形，再证明有一个角是直角或证明其对角线相等；(2)若给出的四边形是平行四边形，则证明有一个角是直角或证明对角线相等．类型2菱形的性质与判定【例3】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，CD＝2DE，延长ED到点F，使得DF＝CD，连接BF.(1)求证：四边形BCDF是菱形；(2)若CD＝2，∠FBC＝120°，求AC的长．【思路分析】(1)首先证明四边形BCDF是平行四边形，再由DF＝CD即可证明四边形BCDF是菱形．(2)首先证明△BCD是等边三角形，再证明∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中利用勾股定理即可解决问题．技法点拨►菱形除具有四条边都相等、对角线互相垂直且平分等特有性质外，它还具有平行四边形的所有性质．判定菱形的方法是多样的，其基本思路是先判定这个四边形为平行四边形，然后通过有一组邻边相等或对角线互相垂直判定为菱形，或者直接利用四条边相等进行证明．变式运用►1.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝5，BF＝8，若▱ABCD的面积是36，求AD的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠BEA.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠BEA.∴AB＝BE.同理：AB＝AF，∴AF＝BE.∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形.(2)如图所示，过A作AH⊥BE.∵四边形ABEF是菱形，∴AO＝EO，BO＝FO，BE＝AB＝5，AE⊥BF.∵BF＝8，∴BO＝4.∴AO＝∴AE＝6.∴S菱形ABEF＝AE·BF＝×6×8＝24.∴BE·AH＝24.∴AH＝∵S▱ABCD＝AD·AH＝36，∴AD＝.34-5222121.524.215类型3正方形的性质与判定【例4】以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：(1)如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？【思路分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的对应边DE＝AG.然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA＋∠DAG＝180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；(2)根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG＝90°.然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；(3)由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG＝90°，且AG＝AD.由正方形ABDI和正方形ACHG的性质，得AC＝AB.2技法点拨►解答这类综合题，需要综合运用正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°是发现结论的关键．变式运用►2.[2018·柳州模拟]如图，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF.(1)求证：∠HEA＝∠CGF；(2)当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．证明：(1)如图所示，连接GE.∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠CGE.∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE.∴∠HEA＝∠CGF.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.在Rt△HAE和Rt△GDH中，∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL)．∴∠AHE＝∠DGH.又∵∠DHG＋∠DGH＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH为正方形．AH＝DG，HE＝GH，真题全练命题点1矩形、菱形、正方形1.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为()B325.D596.C5109.A.18BA．2B．4C.D.2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4则FD的长为()B，6632B连接EF，由题意知Rt△BAE≌Rt△BGE，且AE＝DE，那么GE＝AE＝DE.在Rt△EGF与Rt△EDF中，GE＝DE，且两直角三角形有公共斜边EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF.设GF＝DF＝x，∵AB＝6，BC＝，∴BG＝6，BF＝6＋x，FC＝6－x.在Rt△BCF中，BF2＝CF2＋BC2，即解得x＝4.3.如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为__8754．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.(1)求证：(2)若AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F是BC中点．求证：四边形ABFD是菱形．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．解：(1)证明：∵在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴∠BAC＝∠DAC.∵在△ABF和△ADF中，AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB＝∠AFD.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE.(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD.∴四边形ABCD是菱形．(3)当EB⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF∴△BCF≌△DCF(SAS)．∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°.∴∠EFD＝∠BCD.得分要领►解答特殊四边形问题时，可以参考以下几个方面的技巧：(1)解答矩形问题时，往往把矩形问题转化为直角三角形或等腰三角形，借助直角三角形和等腰三角形的性质解决，由于还需要借助代数知识解决问题．如根据矩形的边、角关系设未知数构造方程解决问题．(2)解决菱形问题时，主要依据菱形的性质和判别方法．由于菱形的对角线互相垂直平分，所以解决菱形问题往往需要转化为直角三角形并借助勾股定理进行计算，或转化为等腰三角形借助于等腰三角形的有关知识解决．解决问题的方法是熟练掌握菱形的性质和判别方法，根据题目的条件灵活地选择方法，展开丰富的联想，大胆地去猜想，深入地去探索，然后给出合理的说明．(3)解答正方形问题时，由于正方形既是矩形又是菱形，所以多结合矩形和菱形的相关知识，同时正方形是数学变换的常考问题，多注意其中的“变”与“不变”，挖掘出其中的隐含知识，最终达到解决问题的目的．