变化率与导数的计算-练习题

2.10变化率与导数导数的计算审核人：王君校对：陈亮一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．2(x2＋a2)解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案：C2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析：本小题主要考查导数与曲线斜率的关系．设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为2x0，由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.答案：D3．设f(x)、g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()[来源:学科网]A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[来源:Z。xx。k.Com]4．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2005(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx答案：C二、填空题5．已知函数f(x)＝f′π2sinx＋cosx，则fπ4＝________.解析：由已知：f′(x)＝f′π2cosx－sinx.则f′π2＝－1，因此f(x)＝－sinx＋cosx，fπ4＝0.答案：06．曲线y＝lnx在与x轴交点的切线方程为__________．解析：由y＝lnx得，y′＝1x，∴y′|x＝1＝1，∴曲线y＝lnx在与x轴交点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝07．幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny＝g(x)lnf(x)，两边求导得y′y＝g′(x)lnf(x)＋g(x)f′(x)f(x)，于是y′＝f(x)g(x)·g′(x)lnf(x)＋g(x)f′(x)f(x).运用此方法可以探求得知y＝x1x(x0)的一个单调递增区间为________．[来源:Zxxk.Com]解析：由(x0)得：lny＝1xlnx，y′y＝－1x2lnx＋1x2.则由y′0，即1－lnx0，解得0xe，因此[来源:Zxxk.Com](x0)的一个单调递增区间为(0，e)．答案：(0，e)三、解答题8．求下列函数的导数：9．已知a、b为实数，且b＞a＞e，求证：ab＞ba.证明：考查函数y＝lnxx，x∈(e，＋∞)，y′＝1－lnxx2，当x＞e时，则y′0，∴函数y＝lnxx在(e，＋∞)上递减，又bae，∴lnbblnaa，即alnbblna，lnbalnab，因此abba.10．利用导数证明：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n·2n－1.证明：(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn.∴[(1＋x)n]′＝C1n＋2C2nx＋…＋nCnnxn－1，即n(1＋x)n－1＝C1n＋2C2nx＋…＋nCnnxn－1，令x＝1，则C1n＋2C2n＋…＋nCnn＝n·2n－1.[来源:学科网]1.设函数f(x)是定义域在R上周期为2的可导函数,若f(2)=2,且＝－2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是()A．y＝－2x＋2B．y＝－4x＋2C．y＝4x＋2D．y＝－12x＋2答案：B2．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)x2，下面的不等式在R内恒成立的是()A．f(x)0B．f(x)0C．f(x)xD．f(x)x解析：若x＝0，则f(0)0，若x0，由2f(x)＋xf′(x)x2得2xf(x)＋x2f′(x)x3，