第二章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最大(小)值

第二章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最大(小)值第二章函数、导数及其应用1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有________________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)第二章函数、导数及其应用图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是______上升的下降的第二章函数、导数及其应用(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_________或________________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的______________(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当____________时，f(x)在区间D上为增函数；当___________时，f(x)在区间D上为减函数．增函数减函数单调区间．f′(x)＞0f′(x)＜0第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用2．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有_________________；②存在x0∈I，使得____________________①对于任意的x∈I，都有__________；②存在x0∈I，使得______________结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝M.f(x)≥Mf(x0)＝M.第二章函数、导数及其应用1．如图2－2－1所示，函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？【提示】不是，其单调增区间为(－∞，0]，(0，＋∞)．2．函数的最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？【提示】最大(小)值是函数图象上最高(低)点的纵坐标，若x0是函数f(x)的最大(小)值点，反映在图象上点(x0，f(x0))是函数图象的最高(低)点．第二章函数、导数及其应用函数单调性的判定与证明试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．第二章函数、导数及其应用【尝试解答】设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax2－x1x1x2＋1x21－1x22－1.∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x21－1＜0，x22－1＜0.－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴x2－x1x2x1＋1x21－1x22－1＞0.因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1,1)上为减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1,1)上为增函数．第二章函数、导数及其应用1．(1)函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个区间．(2)如果函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的．2．(1)函数单调性的判定方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(2)证明函数的单调性的方法有：①定义法；②导数法.第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用(2012·惠州调研)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．7【思路点拨】首先明确f(x)的意义，数形结合求分段函数f(x)的最大值．求函数的最值第二章函数、导数及其应用【尝试解答】如图所示，在同一坐标系中作出y＝x＋2，y＝2x，y＝10－x(x≥0)的图象．根据f(x)定义知，f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象(如图实线部分)．∴f(x)＝2x，0≤x≤2，x＋2，2＜x＜4，10－x，x≥4.令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值f(4)＝6.【答案】C第二章函数、导数及其应用1．利用单调性是求函数最值的最主要方法，函数图象是单调性的最直观体现，函数的最大(小)值是图象的最高(低)点的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值．2．配方法：若函数是二次函数，常用配方法．3．基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法．4．导数法：当函数较复杂时，一般采用此法．第二章函数、导数及其应用(2011·上海高考)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．【思路点拨】(1)讨论a、b的符号，利用指数函数的性质判定f(x)的单调性；(2)由f(x＋1)＞f(x)，转化为指数不等式求解．函数单调性的应用第二章函数、导数及其应用【尝试解答】(1)当ab＞0时，a、b同号．①若a＞0，b＞0，则a·2x与b·3x均单调递增；∴f(x)＝a·2x＋b·3x在R上是增函数．②若a＜0，b＜0时，则a·2x与b·3x是减函数，∴f(x)＝a·2x＋b·3x在R上是减函数．(2)由f(x＋1)＞f(x)，得f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0，(*)①当a＜0，b＞0时，由(*)得(32)x＞－a2b，∴x＞log32(－a2b)，②当a＞0，b＜0时，由(*)得(32)x＜－a2b，∴x＜log32(－a2b)．第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用已知函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.抽象函数的单调性【思路点拨】(1)抽象函数单调性的判定，只能利用定义．(2)将“3”化为f2→脱掉“f”→解不等式第二章函数、导数及其应用【尝试解答】(1)设x1，x2∈R，且x1＜x2.∴x2－x1＞0，则f(x2－x1)＞1.∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1又f(x2－x1)－1＞0，因此f(x2)＞f(x1)，故f(x)在R上是增函数．(2)令a＝b＝2，则f(4)＝2f(2)－1.又f(4)＝5，∴f(2)＝3.原不等式即为f(3m2－m－2)＜f(2)．由(1)知f(x)在R上是增函数，∴3m2－m－2＜2.解之得－1＜m＜43.∴原不等式的解集为(－1，43)．第二章函数、导数及其应用1．本题易犯如下错误：(1)不会构造f(x2－x1)，不会利用f(x2－x1)＞1这个条件；(2)不能将“3”代换为f(2)，导致无法由函数的单调性去掉“f”．2．∀x1，x2∈R，f(x)递增，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2；这类问题的求解关键在于利用函数的单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系．第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用函数的单调性与最值是高考的重点，主要涉及单调性的判断，求函数单调区间与最值，函数单调性的简单应用；考查数形结合、转化化归等数学思想，函数的单调性与其它知识交汇渗透，特别是与新情景相结合是命题的亮点，求解时要避免思维僵化，灵活应用性质．第二章函数、导数及其应用易错辨析之三受思维定势消极影响致误(2010·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋1，x≥01，x＜0，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．【错解】当x＜0时，f(x)＝1；当x≥0，f(x)＝x2＋1是增函数，由f(1－x2)＞f(2x)，得1－x2＞2x，∴－2－1＜x＜2－1，因此实数x的取值范围是(－2－1，2－1)．【答案】(－2－1，2－1)第二章函数、导数及其应用错因分析：(1)仅考虑函数f(x)的单调性，忽略定义区间的限制(1－x2＞0)．(2)作为分段函数，忽视x取值范围影响对应关系，缺乏分类讨论的思想意识．防范措施：(1)分段函数的求解策略是“分段函数分段解决”，树立分类讨论的思想．(2)“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题．第二章函数、导数及其应用【正解】当x≥0时，f(x)＝x2＋1是增函数；当x＜0时，f(x)＝1，因此由题设f(1－x2)＞f(2x)得，1－x2＞02x＜0或1－x2＞2x2x≥0解之得－1＜x＜0或0≤x＜2－1.故所求实数x的取值范围是(－1，2－1)．【答案】(－1，2－1)