信号与系统 课件 奥本海姆 第二章

第2章线性时不变系统LinearTime-InvariantSystems•LTI系统的框图结构表示。本章主要内容：•LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。•LTI系统的微分方程及差分方程表示。•奇异函数。•信号的时域分解——用表示离散时间信号；用表示连续时间信号。()t()n2.0引言(Introduction)基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。问题的实质：1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；2.如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。作为基本单元的信号应满足以下要求：1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；2.LTI系统对这种信号的响应易于求得。如果解决了信号分解的问题，即：若有()()iiixtaxt()()iixtyt则()()iiiytayt将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。分析方法：2.1离散时间LTI系统：卷积和离散时间信号中,最简单的是,我们已经看到可以由它的线性组合构成，即：()n()un0()()()nkkunknk一.用单位脉冲表示离散时间信号对任何离散时间信号,如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。()xn（Discrete-TimeLTISystems:TheConvolutionSum）二.卷积和（Convolutionsum）于是有：()()()kxnxknk表明：任何信号都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。()xn如果一个线性系统对的响应是，由线性特性就有系统对任何输入的响应为：()nk()khn()xn()()()kkynxkhn若系统具有时不变性，即：()()nhn若，则()()nkhnk因此，只要得到了LTI系统对的响应()n()hn单位脉冲响应(impulseresponse)，就可以得到LTI系统对任何输入信号的响应：()xn()()()()()kynxkhnkxnhn这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（Theconvolutionsum）。三.卷积和的计算计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。运算过程：将一个信号不动，另一个信号经反转后成为,再随参变量移位。在每个值的情况下，将与对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到时刻的。()xk()hknn()xk()hnkn()yn例1：()()nxnun01()()hnun10()()()()()()()1()1kkknnkkynxnhnxkhnkukunkun01k()()kxkuk...01nk()()hnkunk例2：104()0nxnotherwise1,06()0nnhnotherwise0n6n014()xkkk()nkhnk①时，0n()0yn②时，04n00(1)11()1111nnnknkkknnnyn③时，46n5410411()11nknknnyn④时，610n4746()1nnkknyn⑤时，10n()0yn通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。例3.列表法分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：①与的所有各点都要遍乘一次；()xn()hn()()kxkhnk②在遍乘后，各点相加时，根据，参与相加的各点都具有与的宗量之和为的特点。()xk()hnkn10211021204200003063102112031()hn()xn(0)x(1)x(2)x(3)x(1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(1)y(0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)y优点：缺点：计算非常简单。①只适用于两个有限长序列的卷积和；②一般情况下，无法写出的封闭表达式。()yn（Continuous-TimeLTISystems:Theconvolutionintegral）一.用冲激信号表示连续时间信号0()()()tutdtd与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：对一般信号，可以将其分成很多宽度的区段，用一个阶梯信号近似表示。当时，有()xt()xt0()()xtxt()xt2.2连续时间LTI系统：卷积积分引用，即：()t1/0()0ttotherwise则有：10()0ttotherwise()xt0k(1)kt()xk()xt第个矩形可表示为：这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号，即：k()()xktk()xt()()()kxtxktk表明：任何连续时间信号都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。()xt()()()xtxtd于是：当时，0k()()tktd()()xtxt二.卷积积分（Theconvolutionintegral）与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对的响应为，则该系统对的响应可表示为：()t()ht()xt()()()ytxhtd表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分（Theconvolutionintegral）。()ht()()tht()()tht()xt()()()()()ytxhtdxtht若系统是时不变的，即：若，则有:于是系统对任意输入的响应可表示为：三.卷积积分的计算卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、解析法和数值解法。运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量移动。对每一个的值，将和对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。tt()x()ht0()()()()()()()1(1)()ataatytxthtxhteuutdedeutat01()ut01()x例1:()(),0atxteuta()()htut例2:10()0tTxtotherwise02()0ttThtotherwise()()()()()()()ytxthtxhtdxthd02T2T()h()xt01tTt①当时，0t()0yt②当时，0tT201()2tytdt③当时，2TtT21()2ttTytdTtT④当时，23TtT2221()2()2TtTytdTtT⑤当时，3tT()0yt212T232TT3T2T0t()yt2.3线性时不变系统的性质（PropertiesofLinearTime-InvariantSystems）()()()()()()()()()kkynxnhnxkhnkxnkhkhnxn一.卷积积分与卷积和的性质1.交换律：()()()()()()()()()ytxthtxhtdxthdhtxt结论：一个单位冲激响应是的LTI系统对输入信号所产生的响应，与一个单位冲激响应是的LTI系统对输入信号所产生的响应相同。()ht()xt()ht()xt()xt()yt()ht()xn()yn()hn()ht()yt()xt()hn()xn()yn()xn12()()hnhn12()()[()()]ynxnhnhn()xt12()()htht12()()[()()]ytxththt()xn1()hn2()hn1()()xnhn2()()xnhn()yn()xt1()ht2()ht()yt2.分配律：12121212()[()()]()()()()()[()()]()()()()xnhnhnxnhnxnhnxththtxthtxtht结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。3.结合律:12121212[()()]()()[()()][()()]()()[()()]xnhnhnxnhnhnxththtxththt()xt1()ht2()ht1()()xtht12()[()()]()ytxththt()xn1()hn2()hn12()[()()]()ynxnhnhn12()()htht()xt()xn12()()[()()]ytxththt12()()[()()]ynxnhnhn12()()hnhn•两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲)响应等于各子系统单位冲激(脉冲)响应的卷积。•由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。结论：12211221()()()()()()()()()()()()xnhnhnxnhnhnxththtxththt()xn()yn1()hn2()hn()xt()yt1()ht2()ht()xn()yn2()hn1()hn()xt()yt1()ht2()ht产生以上结论的前提条件：①系统必须是LTI系统；②所有涉及到的卷积运算必须收敛。如：()xt平方乘22()2()ytxt()xt乘2平方2()4()ytxt若交换级联次序，即成为：又如：若，虽然系统都是LTI系统。当时，如果交换级联次序，则由于不收敛，因而也是不允许的。12()()(1),()()hnnnhnun()1xn()()xnun()1xn1()hn2()hn0()0yn显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。4.卷积运算还有如下性质：②若，则()()()xthtyt000()()()()()xtthtxthttytt卷积积分满足微分、积分及时移特性：()()()xthtyt()()()()()[()]()()[()][()]tttxthtxthtytxdhtxthdyd①若，则②若，则()()()xnhnyn000()()()()()xnnhnxnhnnynn卷积和满足差分、求和及时移特性：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：()()()xnhnyn[()]()()[()]()nnnkkkxkhnxnhkyk①若，则[()(1)]()()()(1)()(1)xnxnhnxnhnhnynyn将微分一次有:()xt()()()xtttT()xttT0(1)(1)()()()()[()()]()()ytxth