信号与系统-第三章习题讲解

第三章习题讲解1、求题图3－1所示对称周期矩形信号的傅里叶级数(三角形式与指数形式)10111011011111()()()[cos()sin()]12()0,,()cos()()cos()2()cos()nnnTnftftftaantbntaftdtTTTTftntftntaftntdT解：求三角形式的傅里叶级数表示。由图知，原信号关于原点对称，为奇函数。将表示为：其中此时为奇函数，为偶函数，故为奇函数，在一个周期内积分为零，因而有：100Tt11012022021.3.5...1.3.5...2()sin()2[sin()()sin()222{[cos()]|()[cos()]|222,2121()sin()TnTTTTTTnnbftntdtTEEntdtntdtTEEntntTnnEnnnEEftntnn为奇数0，为偶数故2sin()211=[sin()sin(3)sin(5)...]352:ntTEtttT其中111102022022()()21()()1[()]2211[||][(1cos)]22,=[1(1)]20jntnTjntTTjntjntTTjntjntTTjnjnjnftFneTFnftedtTEEedtedtTEeEeEnTTjnEenEnjn求指数形式的傅里叶级数：令为奇数，33()....33jtjtjtjtnjEjEjEjEfteeee为偶数故：4、求题图3－4所示周期三角信号的傅里叶级数并画出幅度谱。00202222020021(),234()22()cos()()cos()4281cos()[sin()|sin()]0,8[cos()1]()2TTTTnTTTEaftdtTftaftntdtftntdtTTEEtntdttntntdtTTTnnEnTnT解：将该信号表示为三角形式的傅里叶级数，有由图－知为偶函数，故为224()EnTn偶数；式中，为奇数0121,3,52220,2()[cos()sin()]()4()cos()2()411[cos()cos(3)cos(5)]235nnnnnbftaantbntTEEntnEEttt所以信号幅度谱如下图2()T3－6、求题图3－6所示周期锯齿信号的指数形式傅里叶级，并大致画出频谱图。00000000()(1)11()(1)1]11{[|]}11{[0]};1,2,....21(1)2(TTjntjntnTTjntjntjntTjntTTtftETtFftedtEedtTTTEedttedtTTEetedtTTjnjnEETjnTTjnntEFEdtTTf解：由图3－6知在一个周期内:故22)....222441[sin()sin(2)...]22jtjtjtjtEjEjEjEjEteeeeEEtt频谱图如下所示：37()37ft利用信号的对称性，定性判断题图－中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。(1)()()(2)()()(3)()()(4)()(),(5)()()(6)aftbftcftdfteft解：图中为偶函数，同时也是奇谐函数，故其傅氏级数中只含奇次余弦分量。图中为奇函数，同时也是奇谐函数，故其傅氏级数中只含奇次正弦分量。图中为奇谐函数，故其傅氏级数只含奇次谐波分量。图中为奇函数故其傅氏级数中只含正弦分量。图中既为偶函数又为偶谐函数，故其傅氏级数中仅含直流和偶次谐波的余弦分量。图1()[()]()2fftft中为奇函数且为偶谐函数，故其傅氏级数中仅含直流和偶次谐波的正弦分量。315315－求题图－所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。(见课本108)2222()()22222()()cos()[()()]22()cos()[]2cos()cos()22[]|2()2cos()22jtjtjtjtjtjtftftEtututEFEtedteeedtEEEeejE解：由图得的时域表示为：其傅立叶变换为:2cos()2[1()]E0000000003321[()]();[cos()][()()];[sin()][()()];1[cos()()][cos()]*[()]21[()2FTutjFTtFTtjFtutFTtFTut已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅立叶变换：求单边正弦函数和单边余弦函数的傅立叶变换。解：单边余弦函数的傅立叶变换为：01()]*[()]j0000002200000000111[][()()]2()()2[()()]21[sin()()][sin()]*[()]211[()()]*[()]211[][()(2()()2jjjFtutFTtFTutjjjjjj单边正弦函数的傅立叶变换为：0000220)][()()]2j211210212333()()()24()()cos()2()()()333EftFSaftfttFftft已知三角脉冲的傅立叶变换为：试利用有关定理求的傅立叶变换。、的波形如题图－所示。0000211()()22210102122()()220022[()]()21[()][()()]2()()24[()]()[()()]444jjjjjFTftFeFTftFeFeEFSaFTftFESaeSae解：由时移特性有：将代入可得22339(1):(100);(2):(100)(3):(100)(50);(4):(100)(60)21(2,)2(100)[(100)(100)]100100,mmmmmmSatSatSatSatSatSatfffSatuu决定下列信号的最低抽样频率与奈奎斯特间隔：；解：由抽样定理可知，信号的最低抽样率为为信号的最大频率，奈奎斯特间隔(1)由于即信号的最大频率1002100124mf所以最低抽样率;奈奎斯特间隔（见课本P图示或P123对称性）22()(100)200,2002200()(100)(50)100,1002100()(100)(60)120,mmmmmftSatfftSatSatfftSatSat(2)，信号相乘，频谱展宽一倍。即信号的最大频率所以最低抽样率;奈奎斯特间隔(3)，两信号叠加，频谱与较大者一致。即信号的最大频率所以最低抽样率;奈奎斯特间隔(4)，信号的最大频率所以最低1202120mf抽样率;奈奎斯特间隔00340[()](),()()(1)()()(),()[()];(2)()()()()jntnnpppnpFTftFptptaeftftptFFTftFpttnF若是周期信号，基波频率为，令求相乘信号的傅立叶变换表达式若的图形如下图所示，当求表达式并画出频谱图。00000()()2()()()()11()()*()()*2()22()jntnnnnppnnnnptaePanftftptFFPFanaFn解：由，为基波频率得其傅氏变换由及频率卷积性质有()()()()2(2)()11()()*()()*2(2)221(2)nnpnnpttnptPnPFFPFnFn当时，是周期为的冲激序列，因此:仍是冲激序列，但周期为2，此时11()()*()(2)2pnFFPFn频谱图如下：01231231/()pF