泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(xf在点0x处可微，则有：)()()()(000xxxfxfxxf这样当1x时可得近似公式xxfxfxxf)()()(000或))(()()(000xxxfxfxf，10xx即在0x点附近，可以用一个x的线形函数（一次多项式）去逼近函数f，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0xx，如果要求误差不得超过410，用))(()(000xxxfxf去替代)(xf行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1Taylor公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x的n次多项式在0x附近去逼近f，即令nnxxaxxaaxf)(...)()(0010（2.1）从几何上看，这表示不满足在0x附近用一条直线（曲线)(xfy在点))(,(00xfx的切线）去替代)(xfy，而是想用一条n次抛物线nnxxaxxaaxf)(...)()(0010去替代它．我们猜想在点))(,(00xfx附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a，1a…na如何确定呢？假设f本身就是一个n次多项式，显然，要用一个n次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有nnxxaxxaaxf)(...)()(0010于是得：)(00xfa第2章预备知识2求一次导数可得：)(01xfa又求一次导数可得：!2)(02xfa这样进行下去可得：!3)(03xfa，!4)(0)4(4xfa，…，!)(0)(nxfann因此当f是一个n次多项式时，它就可以表成：knkknnxxkxfxxnxfxxxfxfxf)(!)()(!)(...))(()()(000)(00)(000（2.2）即0x附近的点x处的函数值)(xf可以通过0x点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f，只要它在0x点存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式nnnxxnxfxxxfxxxfxfxT)(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000称为函数)(xf在点0x处的泰勒多项式，)(xTn的各项系数!)(0)(kxfk),...,3,2,1(nk，称为泰勒系数．因而n次多项式的n次泰勒多项式就是它本身．2.2Taylor公式的各种余项对于一般的函数，其n次Taylor多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x附近能近似地用它在0x点的n次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor定理就是回答这个问题的．定理1]10[(带拉格朗日型余项的Taylor公式)假设函数)(xf在hxx||0上存在直至1n阶的连续导函数，则对任一],[00hxhxx,泰勒公式的余项为10)1()()!1()()(nnnxxnfxR其中)(00xxx为0x与x间的一个值.即有10)1(00)(000)()!1()()(!)(...))(()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxfxf(2.3)推论1]10[当0n，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：))(()()(00xxfxfxf所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．推论2]10[在定理1中,若令)0()()1(!)()(101)1(pxxnpfxRnpnnn则称)(xRn为一般形式的余项公式,其中00xxx．在上式中，1np即为拉格朗日型余项．若令1p，则得)0()()1(!)()(10)1(pxxnfxRnnnn,此式称为柯西余项公式．当00x，得到泰勒公式：11)(2)!1()(!)0(...!2)0()0()0()(nnnnxnxfxnfxfxffxf）（，)10(（2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２]10[（带皮亚诺型的余项的Taylor公式）若函数f在点0x处存在直至n阶导数，则有nkkknxxkxfxP000)()(!)()(，)()()(xPxfxRnn．则当0xx时，))(()(0nnxxxR．即有))(()(!)(...))(()()(000)(000nnnxxxxnxfxxxfxfxf（2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数)(xf在点0x处的泰勒公式，)()()(xPxfxRnn，称为泰勒公式的余项的，形如))((0nxx的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中00x时，可得到)(!)0(...!2)0()0()0()()(2nnnxxnfxfxffxf（2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于))(()(0nnxxxR，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．第2章预备知识4定理３设0h，函数)(xf在);(0hxU内具有2n阶连续导数，且0)(0)2(xfn，)(xf在);(0hxU内的泰勒公式为10,)!1()(!)(...)()()(10)1(0)(000nnnnhnhxfhnxfhxfxfhxf（2.7）则21lim0nh．证明：)(xf在);(0hxU内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：)()!2()()!1()(!)(...)()()(220)2(10)1(0)(000nnnnnnnhhnxfhnxfhnxfhxfxfhxf将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出)()!2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(nnnnnnhhnxfhnxfhxf，从而220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(nnnnnhhnxfhxfhxfn，令0h，得)!2()()(lim)!1(10)2(0)2(0nxfxfnnnh，故21lim0nh．由上面的证明我们可以看得出，当n趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x及0x处函数)(0xf及n阶导数值：)(0xf，)(0xf，…，)(0)(xfn，以及用这些值表示动点x处的函数值)(xf，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1应用Taylor公式证明等式例3.1.1设)(xf在ba,上三次可导，试证：),(bac，使得3))((241))(2()()(abcfabbafafbf证明：(利用待定系数法)设k为使下列式子成立的实数：0)(241))(2()()(3abkabbafafbf（3.1）这时，我们的问题归为证明：),(bac，使得：)(cfk令3)(241))(2()()()(axkaxxafafxfxg，则0)()(bgag．根据罗尔定理，),(ba，使得0)(g，即：0)(82)()2()2()(2akaafaff这是关于k的方程，注意到)(f在点2a处的泰勒公式：2))((812)()2()2()(acfaafaff其中),(bac，比较可得原命题成立．例3.1.2设)(xf在ba,上有二阶导数，试证：),(bac，使得3))((241)2()()(abcfbafabdxxfba．（3.2）证明：记20bax，则)(xf在0x处泰勒公式展开式为：20000)(2)())(()()(xxfxxxfxfxf（3.3）对（3.3）式两端同时取ba,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(bac，使得第3章泰勒公式的应用632020))((121)()())((abcfdxxxcfdxxxfbaba因此原命题式成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2应用Taylor公式证明不等式例3.4设)(xf在ba,上二次可微，0)(xf，试证：bxxxan...21，0ik，11niik，niiiniiixfkxkf11)()(．证明：取niiixkx10，将)(ixf在0xx处展开))(()()(2)())(()()(00020000xxxfxfxxfxxxfxfxfiiiii其中ni,...,3,2,1．以ik乘此式两端，然后n个不等式相加，注意11niik00110xxkxxkniiiniii得：)()()(101niiiniiixkfxfxfk．例3.2.2设)(xf在1,0上有二阶导数，当10x时，1)(xf，2)(xf．试证：当10x时，3)(xf．证明：)(tf在x处的泰勒展开式为：2)(!2)())(()()(xtfxtafxftf其中将t分别换为1t，0t可得：2)1(!2)()1)(()()1(xfxxfxff（3.4）2)(!2)())(()()0(xfxxfxff（3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：22!2)()1(!2)()()0()1(xfxfxfff从而，312)1(2)(21)1()(21)0()1()(2222xxxfxfffxf例3.2.3设)(xf在ba,上二阶可导，0)()(bfaf，证明：),(ba，有|)()(|)(4|)(|2afbfabf．证明：)(xf在ax，bx处的泰勒展开式分别为：21)(!2)())(()()(axfaxafafxf，),(1xa22)(!2)())(()()(bxfbxbfbfxf，),(2bx令2bax，则有4)(!2)()()2(21abfafbaf，)2,(1baa（3.6）4)(!2)()()2(22abfbfbaf，),2(2bba（3.7）（3.7）－（3.6）得：0)()(8)()()(122ffabafbf则有)()(8)()()(8)()()(122