2011―2017高考全国卷Ⅰ文科数学解析几何汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解析几何一、选择题【2017，5】已知F是双曲线22:13yCx的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为（）A．13B．12C．23D．32【解法】选D．由2224cab得2c，所以(2,0)F，将2x代入2213yx，得3y，所以3PF，又A的坐标是(1,3)，故APF的面积为133(21)22，选D．【2017，12】设A、B是椭圆C：2213xym长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是()A．(0,1][9,)B．(0,3][9,)C．(0,1][4,)D．(0,3][4,)【解法】选A．图1图2解法一：设EF、是椭圆C短轴的两个端点，易知当点M是椭圆C短轴的端点时AMB最大，依题意只需使0120AEB．1．当03m时，如图1，03tantan6032AEBabm，解得1m，故01m；2．当3m时，如图2，0tantan60323AEBamb，解得9m．综上可知，m的取值范围是(0,1][9,)，故选A．解法二：设EF、是椭圆C短轴的两个端点，易知当点M是椭圆C短轴的端点时AMB最大，依题意只需使0120AEB．1．当03m时，如图1，01cos,cos1202EAEB，即12EAEBEAEB，带入向量坐标，解得1m，故01m；2．当3m时，如图2，01cos,cos1202EAEB，即12EAEBEAEB，带入向量坐标，解得9m．综上可知，m的取值范围是(0,1][9,)，故选A．【2016，5】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）A．13B．12C．23D．34解析：选B．由等面积法可得1112224bcab，故12ca，从而12cea．故选B．【2015，5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C:y2=8x，的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=()A．3B．6C．9D．12解：选B．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x=-2，所以c=2，从而a=4，所以b2=12，所以椭圆方程为2211612xy，将x=-2代入解得y=±3，所以|AB|=6，故选B【2014，10】10．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=054x，则x0=()AA．1B．2C．4D．8解：根据抛物线的定义可知|AF|=001544xx，解之得x0=1．故选A【2014，4】4．已知双曲线)0(13222ayax的离心率为2，则a=()DA．2B．26C．25D．1解：2222232cabaeaaa，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C：2222=1xyab(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()．A．y＝14xB．y＝13xC．y＝12xD．y＝±x解析：选C．∵52e，∴52ca，即2254ca．∵c2＝a2＋b2，∴2214ba．∴12ba．∵双曲线的渐近线方程为byxa，∴渐近线方程为12yx．故选C．【2013，8】O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()．A．2B．22C．23D．4答案：C解析：利用|PF|＝242Px，可得xP＝32，∴yP＝26．∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝23．故选C．【2012，4】4．设1F、2F是椭圆E：2222xyab（0ab）的左、右焦点，P为直线32ax上一点，21FPF是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．12B．23C．34D．45【解析】如图所示，21FPF是等腰三角形，212130FFPFPF，212||||2FPFFc，260PFQ，230FPQ，2||FQc，又23||2aFQc，所以32acc，解得34ca，因此34cea，故选择C．【2012，10】10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线216yx的准线交于A，B两点，||43AB，则C的实轴长为（）A．2B．22C．4D．8【解析】设等轴双曲线C的方程为22221xyaa，即222xya（0a），抛物线216yx的准线方程为4x，联立方程2224xyax，解得2216ya，因为||43AB，所以222||(2||)448AByy，从而212y，所以21612a，24a，2a，因此C的实轴长为24a，故选择C．【2011，4】椭圆221168xy的离心率为（）A．13B．12C．33D．22【解析】选D．因为221168xy中，2216,8ab，所以2228cab，所以22242cea．【2011，9】已知直线l过抛物线的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，12AB，P为C的准线上一点，则ABP△的面积为（）．A．18B．24C．36D．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为220ypxp，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为2px．代入22ypx得yp，即2ABp，又12AB，故6p，所以抛物线的准线方程为3x，故1612362ABPS△．故选C．二、填空题【2016，15】设直线2yxa与圆22:220Cxyay相交于,AB两点，若23AB，则圆C的面积为．解析：4．由题意直线即为20xya，圆的标准方程为2222xyaa，所以圆心到直线的距离2ad，所以22222aABa222232a，故2224ar，所以24Sr．故填4．【2015，16】已知F是双曲线C:2218yx的右焦点，P是C左支上一点，(0,66)A，当ΔAPF周长最小时，该三角形的面积为．解：126．a=1，b2=8，c=3，∴F(3,0)．设双曲线的的左焦点为F1，由双曲线定义知|PF|=2+|PF1|，∴ΔAPF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|+|PF1|+2，由于|AF|是定值，只要|PA|+|PF1|最小，即A,P,F1共线，∵(0,66)A，F1(-3,0)，∴直线AF1的方程为1366xy，联立8x2-y2=8消去x整理得y2+66y-96=0，解得y=26或y=86(舍去)，此时SΔAPF=SΔAFF1-SΔPFF13(6626)126．三、解答题【2017，20】设A，B为曲线C：42xy上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且BMAM，求直线AB的方程．解析：第一问：【解法1】设1122(,),(,)AxyBxy,AB直线的斜率为k，又因为A,B都在曲线C上，所以4/211xy4/222xy-得2221122121()()44xxxxxxyy由已知条件124xx所以，21211yyxx即直线AB的斜率k=1．【解法2】设),(),,(2211yxByxA,AB直线的方程为y=kx+b,所以4/2xybkxy整理得：,4,044212kxxbkxx且421xx所以k=1第二问：设00(,)Mxy所以200/4yx又12yx所以00011,2,12kxxy所以M（2,1），11(2,1)MAxy，22(2,1)MBxy，且AMBM，0AMBM即05)()(221212121yyyyxxxx，设AB直线的方程为yxb，,4/2xybxy化简得0442bxx，所以2212121,24,4byybyybxx由得0772bb所以b=7或者b=-1(舍去)所以AB直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy中，直线:(0)lytt交y轴于点M，交抛物线2:2(0)Cypxp于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（1）求OHON；（2）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？请说明理由．解析（1）如图，由题意不妨设0t，可知点,,MPN的坐标分别为0,Mt，2,2tPtp，2,Nttp，HNPMOyx从而可得直线ON的方程为yxpt，联立方程22pxtypxy，解得22xtp，2yt．即点H的坐标为22,2ttp，从而由三角形相似可知22HNOHytONyt．（2）由于0,Mt，22,2tHtp，可得直线MH的方程为22tytxtp，整理得2220typxt，联立方程222202tyypxtpx，整理得22440tyyt，则2216160tt，从而可知MH和C只有一个公共点H．【2015，20】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)OMON=12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(Ⅰ)依题可设直线l的方程为y=kx+1，则圆心C(2,3)到的l距离2|231|11kdk.解得474733k-+.所以k的取值范围是4747(,)33.(Ⅱ)将y=kx+1代入圆C的方程整理得(k2+1)x2-4(k+1)x+7=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，则1212224(1)7,.11kxxxxkk所以OMON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+124(+1)8+1kkk=12，解得k=1=1k，所以l的方程为y=x+1.故圆心在直线l上，所以|MN|=2.【2013，21】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143xy(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则1||||QPRQMr，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得2|3|1kk＝1，解得k＝24.当k＝24时，将224yx代入22=143xy，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝4627，所以|AB|＝21k|x2－x1|＝187.当k＝24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.【2012，20】设抛物线C：pyx22（0p）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于