角谱,3.2

2008届本科毕业论文角谱法数值计算光的矩孔衍射姓名：朱高杰系别：物理与信息工程系专业：物理学学号：040311032指导教师：舒方杰2008年5月15日商丘师范学院学士学位毕业论文I目录摘要………………………………………………………………………………………………………II关键词……………………………………………………………………………………………………II0引言………………………………………………………………………………………………………11平面波的角谱……………………………………………………………………………………………11.1空域和频域…………………………………………………………………………………………11.2角谱及其物理意义…………………………………………………………………………………21.3角谱的传播………………………………………………………………………………………31.4衍射孔径对角谱的影响…………………………………………………………………………51.5衍射反比率…………………………………………………………………………………………52图像的表达………………………………………………………………………………………………62.1连续函数图像的表达………………………………………………………………………………62.2连续函数的离散化…………………………………………………………………………………63计算机模拟光的矩孔衍射………………………………………………………………………………73.1可变参数的设定……………………………………………………………………………………73.2计算机模拟矩孔衍射结果…………………………………………………………………………74角谱法的意义和应用…………………………………………………………………………………114.1角谱理论的适用性………………………………………………………………………………114.2实际应用…………………………………………………………………………………………115结语……………………………………………………………………………………………………11参考文献………………………………………………………………………………………………12致谢……………………………………………………………………………………………………12商丘师范学院学士学位毕业论文II角谱法数值计算光的矩孔衍射摘要通过对角谱理论的详细介绍，应用角谱理论对矩孔衍射作了简要的分析，并且利用MATLAB模拟出了矩孔衍射的光强分布，通过比较、分析，得出了衍射规律和角谱理论相吻合。此外，通过对角谱理论实际应用的简单介绍，体现了运用该理论求解衍射问题和在信号处理方面广泛应用的优势，并指出了该理论的适用范围。关键词角谱；衍射；MATLABTheCalculatingofSquareholeApertureDiffractionbyAngularSpectrumAbstractBasedonthedetailedintroductionfortheoryofangularspectrum,thesquareholeaperturediffractionhavebeenmadebriefanalysisbyusingthetheoryofangularspectrum.AndthediffractionoflightdistributionofthesquareholeisgivenbyMATLAB.Intheend,theprincipleofthediffractioncorrespondstothetheoryofangularspectrumbycomparisonandanalysis.Besides,thewidespreadadvantageoftheangularspectrumtheoryindealingwiththeproblemsofdiffractionandsignalprossingisshownbyanalysingtheapplicationoftheangularspectrumtheory.Andhavepointedoutthesuitablescopeofthistheory.KeywordsAngularspectrum;diffraction;MATLAB商丘师范学院学士学位毕业论文10引言衍射现象是光在传播过程中表现出波动性的重要现象之一，在标量衍射理论下，研究光的传播过程中形成的基尔霍夫衍射理论，是在惠更斯提出的球面波理论的基础上，利用格林定理，通过假定衍射屏的边界条件，求解波动方程，导出的衍射公式，在实际的应用过程中，要计算衍射分布规律必须找到相应的格林函数和倾斜因子。为了使问题简化，根据光源和障碍物的距离不同，可近似得到两种衍射理论[1]：一是当光源和接收屏与衍射元件的距离为有限远时，近似为菲涅尔衍射；二是当光源和接收屏与衍射元件为无限远或光源为平行光束时，近似为夫琅和费衍射。由此可以看出近场衍射和远场衍射是根据光源和考察点到障碍物的距离在一定范围内的两类衍射现象。而角谱理论中却没有这种特别的限制，角谱衍射理论包含了这两种衍射理论，通过对角谱衍射理论中，光源到障碍物的距离及障碍物到接收屏的距离的限定，也可以得到菲涅耳衍射和夫琅和费衍射；通过对角谱表示的衍射公式作一定的近似处理就可以得到用角谱表示的菲涅耳衍射和夫琅和费衍射[2]。因而角谱理论和菲涅耳衍射和夫琅和费衍射相比，其应用范围要更广，更具有普遍的适用性。这篇文章利用MATLAB对矩孔衍射进行计算、绘图，展现了衍射所得的平面图像和光强分布图像，直观的反映了光的衍射规律，并且矩孔的长、宽和衍射距离都容易控制，所得图像与实验结果相吻合。1平面波的角谱[3，4，5，6]在研究光的传播过程时，惠更斯提出了次波假设对波的传播过程进行了阐述，从而形成了惠更斯球面波理论，他利用该理论解决了一些光的衍射问题。与此相对应，把光波的传播看成平面波传播时，也能解决一些衍射问题，并且能够体现出其广泛应用的优势性。在这里所用到的理论就是角谱理论，具体介绍角谱之前，先了解一下空域中场函数和频域中的频函数的关系。1.1空域和频域任意一个波函数的每个傅里叶分量都是一个单一空间频率的复指数函数，因此，每个频率分量都可以扩展到空域yx,上。对于任一单色波，都可以用其振幅分布和相位分布来表示yxjyxayxg,exp,,(1)其中yxa,是非负的实值振幅分布，yfxfyxYX2,是实值相位分布，Xf，Yf是光波分别在x，y方向上的频率。函数yxg,的傅里叶变换式为.2exp,,dxdyyfxfjyxgffGYXYX(2)YXffG,的傅里叶逆变换为.2exp,,YXYXYXdfdfyfxfjffGyxg(3)如果用yxg,表示该光波在空域中的场函数，那么YXffG,就表示为该光波在频域中的频函数。商丘师范学院学士学位毕业论文2因此，通过傅里叶变换和傅里叶逆变换可以实现波的空域表达式和频域表达式间的相互转换。1.2角谱及其物理意义假设在空间坐标系zyx,,中，有一单色光源系统，入射到横向的平面yx,上，令该入射波在0z平面上的复场函数为0,,yxU，下面我们要计算当该光源传播到另一平行平面zz时，由它引起的光场函数zyxU,,。在0z的平面上，复场0,,yxU的二维傅里叶变换式为.2exp0,,0;,dxdyyfxfjyxUffAYXYX(4)其中,,0XYAff是空域中的,,0Uxy在其相应的频域中的频函数，我们把它叫做频谱，把U写成其频谱的逆变换.2exp0;,0,,YXYXYXdfdfyfxfjffAyxU(5)为了给上面的积分式中的被积函数以物理意义，考虑一个波矢k方向传播的平面波，k的大小为2/，其方向余弦为cos,cos,cos，如图1所示。这个平面波的复指数形式为trkjtzyxp2exp;,,(6)其中，zzyyxxrˆˆˆ为位置矢量（符号^表示单位矢量），而.ˆcosˆcosˆcos2zyxk(7)如果忽略该平面波对时间的依赖关系，那么在z为常数的平面上，平面波的复相矢量的振幅就为zjyxjrkjzyxP2expcoscos2expexp,,(8)其方向余弦各分量之间满足.coscos1cos22(9))))xyzk))))))xyzk图1波矢k商丘师范学院学士学位毕业论文3因此在0z平面上，可以把复指数函数yfxfjYX2exp看成是一个平面波，它传播的方向余弦是XfcosYfcos.1cos22YXff(10)在U的傅里叶分解式中，空间频率为YXff,的平面波分量的复振幅就是YXYXdfdfffA0;,0，在/cos,/cosYXff处求值。由于这个原因，函数dxdyyxjyxUAcoscos2exp0,,0;cos,cos(11)被称为扰动0,,yxU的角谱。1.3角谱的传播现在来看一个与0,,yx平面平行，并已知0,,yx平面上角谱，离它的距离为z的平面zyx,,上的扰动U的角谱如图2所示。令函数zA;cos,cos代表,,Uxyz的角谱，即.coscos2exp,,;cos,cosdxdyyxjzyxUzA(12)xyz'x'yxyz'x'y图2衍射孔径和接收平面若能找到0;cos,cosA与zA;cos,cos之间的关系，那么波动传播对扰动角谱的效应就清楚了。为了找到所需要的关系，注意U可以写成.coscoscoscos2exp;cos,cos,,ddyxjzAzyxU(13)商丘师范学院学士学位毕业论文4另外，在所有无源点上U还必须满足亥姆霍兹方程.022UkU(14)把(13)代入亥姆霍兹方程，可得A满足的微分方程0;cos,coscoscos12;cos,cos22222zAzAdzd该方程的一个基元解可以写成下面的形式：.coscos12exp0;cos,cos;cos,cos22zjAzA(15)这一结果表明，当方向余弦cos,cos满足1coscos22(16)时（真正的方向余弦都必须满足此式），传播一段距离z的效应只是改变了各个角谱分量的相对相位。因为每个平面波分量以不同的角度传播，它们在两个平行平面间所经过的距离不同，因而引入了相对的相位延迟。但是，当cos,cos满足1coscos22(17)时，就需要有一个不同的解释。由于cos/,cos/;0A是场分布的傅里叶变换，而在孔径平面上对场施加了一个边界条件，这个频谱中很可能包含满足上式的分量。在这种情况下，不再将cos和cos解释为方向余弦。这时(15)式中的平方根是虚数，(15)式就可以写成.exp0;cos,cos;cos,coszAzA(18)其中，.1coscos222(19)由于是一个正实数，这些波动分量因传播而迅速衰减。这种波动