2019年北京朝阳区高三二模数学(理)试卷-+答案+评分标准

1北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）2019．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}Axx，{|(2)0}Bxxx，则ABA.{|0}xxB.{|12}xxC.{|12}xxD.{|0xx且1}x2.复数i(1+i)的虚部为A.2B.1C.0D.13.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s的值为A.4B.83C.5215D.3041054.在△ABC中，6B，4c，5cos3C,则bA.33B.3C.32D.435.已知等差数列{}na的首项为1a，公差0d.则“139,,aaa成等比数列”是“1ad”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1kk4(1)21kssk开始结束输出s是3k≥0,0ks否26.已知函数2,,(),.xxafxxxa若函数()fx存在零点，则实数a的取值范围是A.,0B.,1C.1,D.0,7.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,EF分别为线段CD和11AB上的动点，且满足1CEAF，则四边形1DFBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A.有最小值32B.有最大值52C.为定值3D.为定值28.在同一平面内,已知A为动点,,BC为定点,且3BAC,2ACB,1BC,P为BC中点.过点P作PQBC交AC所在直线于Q,则AQ在BC方向上投影的最大值是A.13B.12C.33D.23第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知3logea，ln3b，3log2c，则a，b，c中最小的是.10.已知点(1,2)M在抛物线2:2(0)Cypxp上，则点M到抛物线C焦点的距离是.11.圆cos,:1sinxCy(为参数)上的点P到直线12,:1xtlyt(t为参数)的距离最小值是.12.已知实数,xy满足1,,4.xyxxy能说明“若zxy的最大值为4，则1,3xy”为假命题的一组(,)xy值是.13.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有个.ED1A1C1B1DACBF314.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)OMNPQ，(4,2)H.线段OM上的动点A满足((0,1))OAOM；线段HN上的动点B满足HBHN.直线PA与直线QB交于点L，设直线PA的斜率记为k，直线QB的斜率记为k，则kk的值为_______；当变化时，动点L一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知函数2()2sincos23cos3fxxxx.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）当[,]312x时，求证：()3fx.16.（本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：专家ABCDE评分9.69.59.68.99.70.5a0.278910评分O频率组距NMHFEQyxLGPOBA4（Ⅰ）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求()EX与()EY的值；（Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x作为该选手的最终得分.方案二：分别计算专家评分的平均数1x和观众评分的平均数2x，用122xx作为该选手最终得分.请直接写出x与122xx的大小关系.17.（本小题满分14分）在三棱柱111ABCABC中，底面ABC是正三角形，侧棱1AA底面ABC.D，E分别是边BC，AC的中点，线段1BC与1BC交于点G，且4AB，122BB.(Ⅰ)求证：//EG平面1ABD；(Ⅱ)求证：1BC平面1ABD；(Ⅲ)求二面角1ABCB的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数22()(24)ln4fxaxxxaxx(aR,且0a).（Ⅰ）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程;（Ⅱ）若函数()fx的极小值为1a，试求a的值.19.（本小题满分14分）GEB1A1C1ABCD5已知椭圆:C2221xya(1)a的离心率为63.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l过点(1,0)M且与椭圆C相交于,AB两点.过点A作直线3x的垂线，垂足为D.证明：直线BD过x轴上的定点.20.（本小题满分13分）对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合(){,}SAabaAbA∣,记集合()SA的元素个数为(())dSA.定义变换T，变换T将集合A变换为集合()()TAASA.（Ⅰ）若0,1,2A,求(),()SATA;（Ⅱ）若集合A有n个元素，证明:“(())21dSAn”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”;（Ⅲ）若{1,2,3,4,5,6,7,8}A且{1,2,3,,25,26}(())TTA，求元素个数最少的集合A.1北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）答案2019．5一、选择题：（本题满分40分）题号12345678答案ABCBCDDC二、填空题：（本题满分30分）题号91011121314答案c251(2,2)(答案不唯一)603614双曲线三、解答题：（本题满分80分）15．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()2sincos23cos3fxxxxsin23cos2xx2sin(2)3x所以()fx的最小正周期2T.………….6分（II）因为[,]312x，即2+[,]332x,所以()fx在[,]312上单调递增.当2+=33x时，即=3x时，min()=3.fx所以当[,]312x时，()3fx.………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图知0.3a，某场外观众评分不小于9的概率是12.………….3分（Ⅱ）X的可能取值为2,3.2141353(X2)5CCPC；34352(X3)5CPC.所以X的分布列为2X23P3525所以3212()23555EX.由题意可知，1~(3,)2YB，所以3()2EYnp.………….10分（Ⅲ）122xxx.………….13分17．(本小题满分14分)(I)因为E为AC中点，G为1BC中点.所以1//EGAB.又因为EG平面1ABD，1AB平面1ABD,所以//EG平面1ABD.………….4分(Ⅱ)取11BC的中点1D，连接1DD.显然DA，DC，1DD两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz,则(0,0,0)D，(23,0,0)A，(0,2,0)B，1(0,2,22)B，1(0,2,22)C,(3,1,0)E,(0,2,0)C.所以1(0,2,22)DB，(23,0,0)DA，1(0,4,22)BC.又因为1230040220BCDA，1100(2)422220BCDB,所以111,BCDABCDB.又因为1DADBD，所以1BC平面1ABD.………….9分（Ⅲ）显然平面1BCB的一个法向量为1(1,0,0)n.设平面1ABC的一个法向量为2(,,)xyzn，又(23,2,0)AC，1(0,4,22)BC，zyxD1GEB1A1C1ABCD3由2210,0,ACBCnn得2320,4220.xyyz设1x，则3y，6z，则2(1,3,6)n.所以121212110cos1010,nnnnnn.设二面角1ABCB的平面角为，由图可知此二面角为锐二面角，所以10cos10.………….14分18．(本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)lnfxaxx，(0,)x.（Ⅰ）(1)0f，(1)4fa，所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为4ya.………….3分（Ⅱ）①当1a时，x变化时(),()fxfx变化情况如下表：x1(0,)a1a1(,1)a1(1,)()fx00()fx↘极小值↗极大值↘此时1321()ln()faaaaa,解得11ea，故不成立.②当1a时，()0fx在(0,)上恒成立，所以()fx在(0,)单调递减.此时()fx无极小值，故不成立.③当10a时，x变化时(),()fxfx变化情况如下表：x(0,1)11(1,)a1a1(,)a()fx00()fx↘极小值↗极大值↘此时极小值(1)4fa，由题意可得14aa，4解得23a或23a.因为10a，所以32a.④当0a时，x变化时(),()fxfx变化情况如下表：x(0,1)1(1,)()fx0()fx↘极小值↗此时极小值(1)4fa，由题意可得14aa，解得23a或23a，故不成立.综上所述23a.………….13分19．(本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可得2221,6,3.bcaabc解得1,3.ba所以椭圆C的方程为2213xy.………….4分（Ⅱ）直线BD恒过x轴上的定点(2,0).证明如下（1）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为1x,不妨设6(1,)3A，6(1,)3B，6(3,)3D.此时，直线BD的方程为：6(2)3yx，所以直线BD过点(2,0).（2）当直线l的斜率存在时，设:(1)lykx，1122(,),(,)AxyBxy,1(3,)Dy.由22(1),33ykxxy得2222(31)6330kxkxk.所以22121222633,3131kkxxxxkk.5直线2112:(3)3yyBDyyxx，令0y，得1221(3)3yxxyy，所以2112121333yyyxyxyy212213yyxyy2122143xxxxx2222112431kxkxx.由于2122631kxxk，所以2222221243126231kxkxkxk.故直线BD过点(2,0).综上所述，直线BD恒过x轴上的定点(2,0).………….14分20．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）若集合0,1,2A,则()()0,1,2,3,4SATA.….3分（Ⅱ）令12{,,}nAxxx.不妨设12nxxx.充分性：设{}kx是公差为d0d的等差数列.则111(1