平均数、中位数、众数、极差、方差标准差课件

§5数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差问题引航1.如何求平均数、中位数、众数、极差、方差?2.利用它们进行总体估计的优缺点是什么?1.平均数、中位数、众数、极差出现次数大小顺序中间中间两个数原数据平均数计算公式最大值最大值最小值最小值12n1(xxx)n2.标准差与方差(1)方差的求法:标准差的平方s2叫做方差.s2=_______________________________,其中,xn是样本数据,n是样本容量,是样本平均数.(2)标准差的求法:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.s=_______________________________.22212n1xxxxxxn［］22212n1xxxxxxn［］x1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据.()(2)平均数、众数、中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()(3)极差不受极端值的影响.()【解析】(1)错误.平均数不可能大于每一个数据.(2)正确.从平均数、众数与中位数的含义知正确.(3)错误.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它受一组数据中的极端值的影响.答案:(1)×(2)√(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别是75,80,则这次考试该年级学生平均分数为________.(2)某射手在一次训练中射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是__________.(3)一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13,x,17,19,21,24,其中中位数为16,则x=__________.【解析】(1)平均分数=×75+×80=78.答案:78(2)=×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,所以s2=×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016.答案:0.016(3)由题意知=16,即x=15.答案:154010060100x1515x172【要点探究】知识点1对平均数、中位数、众数、极差的理解极差、众数、中位数、平均数的比较(1)一组数据的平均数、中位数、极差都是唯一的，众数可能不唯一.(2)求中位数时，应将数据按大小顺序排列，当数据个数是奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数是偶数时，居于中间两个数的平均数才是中位数.可见，中位数不一定是这组数据中的数值.(3)众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数.一组数据的众数可以有多个.(4)平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；众数的大小只与这组数据的部分数据有关；中位数也只与少数的数据有关；极差只与这组数据的最大值和最小值有关.【知识拓展】极差、众数、中位数、平均数的作用(1)极差的大小可以反映该组数据分散的程度；众数体现了样本数据的最大集中点，但它忽视了数据信息中的其他数据；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受极端值的影响；平均数反映了一组数据的平均水平，易受极端值的影响.(2)实际问题中求得的众数、中位数和平均数应带上单位.【微思考】(1)在极差、众数、平均数、中位数中哪些是一定出现在已知数据的数？哪些不一定出现在已知数据中？提示:众数一定出现在已知数据中；极差、平均数、中位数不一定出现在已知数据中.(2)在极差、众数、平均数、中位数中哪些反映了该组数据的集中趋势？哪些反映了数据的分散程度？提示:众数、平均数、中位数都反映了数据的集中趋势;极差反映了数据的分散程度.【即时练】1.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和922.对甲、乙二人的学习成绩进行抽样分析,各抽4门功课,得到的观测值如下:问:甲、乙谁的平均成绩较好?甲65828085乙75657090【解析】1.选A.中位数为(91+92)=91.5;平均数为(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.2.(65+82+80+85)=78,(75+65+70+90)=75,12181x4甲＝1x4乙＝知识点2对方差与标准差的理解标准差、方差的作用(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性．【微思考】(1)在解决实际问题时，一般采用方差还是标准差？提示:方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以在实际问题中一般采用标准差.(2)在计算标准差时，若各样本数据加上或减去一个常数，标准差的值会变化吗？提示:不变，因为平均值和每一个样本数据都加上或减去了同一个常数，所以(xi－)2的值不变，所以标准差不变.x【即时练】1.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()2.已知一个样本为x,1，y,5，其中x，y是方程组的解，则这个样本的标准差是()66A.B.C.2D255．22xy2xy10，A2B2C5D5．．．．【解析】1.选D.由题可知样本的平均值为1，所以＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为［(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2］＝2.2.选D.因为x＋y＝2，x2＋y2＝10，所以＝(x＋1＋y＋5)＝［(x＋y)＋6］＝2，s2＝［(x－2)2＋(1－2)2＋(y－2)2＋(5－2)2］＝［(x2＋y2)－4(x＋y)＋18］＝×20＝5，所以a0123515x14141414142ss5.＝＝【题型示范】类型一众数、中位数、平均数的计算及应用【典例1】(1)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设所得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则()xA．me＝m0＝B．me＝m0C．mem0D．m0mexxxx(2)据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下:职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500①求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数.②假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)③你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.【解题探究】1.题(1)图中最高的直条对应的得分是哪个数字特征?2.题(2)中3000位于表格中央,3000是不是中位数?【探究提示】1.是众数.最高的直条对应的频数是10,其得分为5分,5分是众数.2.3000不是中位数,应该将33个数从小到大排列,中间的数是中位数.中位数是1500.【自主解答】(1)选D.由图可知,30名学生的得分情况依次为:2个人得3分,3个人得4分,10个人得5分,6个人得6分,3个人得7分,2个人得8分,2个人得9分,2个人得10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数,即me=5.5,5出现的次数最多,故m0=5,于是得m0me.233410566372829210x5.97.30＝x(2)①平均数是≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元.②平均数是≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．40003500200021500100055003020x150033＝＋2850018500200021500100055003020x150033＝＋③在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．【方法技巧】1.众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数.2.中位数的求法(1)把数据按从小到大的顺序排列.(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数.若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数.3.平均数的计算公式一组样本数据为x1,x2，…,xn，则样本平均数(x1+x2+…+xn).简记为1xnnii11xx.n【变式训练】高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01).(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人.(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么．【解析】(1)利用平均数计算公式×(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)因为男同学的中位数是75，所以至少有14人得分不超过75分．又因为女同学的中位数是80，所以至少有11人得分不超过80分．所以全班至少有25人成绩在80分以下(含80分)．1x48＝(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大.【误区警示】刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息.【补偿训练】下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：请参照这个表解答下列问题:(1)用含x,y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f.(2)若该班这次竞赛的平均分为2.5分,求x,y的值.分数012345人数4710x8y【解题指南】第(2)问根据频数之和为40及平均数为2.5构造方程组求解.【解析】(1)f=(2)依题意,有3x5y59.403x5y41,x7,xy11,y4.解得类型二方差、标准差的计算及应用【典例2】(1)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差分别为________,标准差分别为__________.学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679(2)甲、乙两支篮球队在联赛中,各进行10场比赛,得分如下:甲队:100,97,99,96,102,103,104,101,101,100.乙队:97,97,99,95,102,100,104,104,103,102.请计算甲、乙两队的方差与标准差,并判断哪支球队发挥更为稳定?【解题探究】1.题(1)中,求方差和标准差的关键是什么?2.题(2)中,方差(标准差)与数据的稳定程度的关系是什么?【探究提示】1.求方差和标准差的关键是先求平均数,再求方差,最后由方差求得标准差.2.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,方差(标准差)越大,波动越大,稳定性越差;方差(标准差)越小,波动越小,稳定性越好.【自主解答】答案：0.4，1.2222222226738627291x7,x75512s67377870.4,5516s267277971.2,551030,.55甲乙甲乙，［］［］所以它们的标准差分别为103055