第九章--线性系统的状态空间分析与综合习题

901第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1已知电枢控制的直流司服电机的微分方程组及传递函数为baaaaaEtddiLiRu，tddKEmbb，ammiCM，tddftddJMmmmmm22；)]()([)()(2mbmaammamamamCKfRsRJfLsJLsCsUs。⑴设状态变量mx1，mx2，mx3，输出量my，试建立其动态方程；⑵设状态变量aix1，mx2，mx3，输出量my，试建立其动态方程；⑶设xTx，确定两组状态变量间的变换矩阵T。解：⑴由传递函数得amammambmamauCxRJfLxCKfRxJL323)()(，动态方程为xyuxxxxxx001100010001032121321，其中)/()()/()()/(21maammamambmamaamJLRJfLJLCKfRJLuCu；⑵由微分方程得31332311xfxCxJxxuxKxRxLmmmabaa，即xyuxxxaaaaxxxa0200010100032133311311321，其中mmmmabaaJfaJCaLKaLRa////33311311；⑶由两组状态变量的定义，直接得到32133313210100010xxxaaxxx。9-2设系统的微分方程为uxxx23其中u为输入量，x为输出量。⑴设状态变量xx1，xx2，试列写动态方程；⑵设状态变换211xxx，2122xxx，试确定变换矩阵T及变换后的动态方程。解：⑴uxxxx1032102121，2101xxy；⑵2121xxTxx，2111T；11121T；ATTA1，BTB1，CTC；得，2111T；uxxxx1110012121，2111xxy。9-3设系统的微分方程为uyyyy66116其中u、y分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即A为友矩阵)及可观标准型(即A为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。902解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，xyuxx0061006116100010；xyuxx1000066101101600；可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，9-4已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x、2x、3x。试求动态方程，并画出状态变量图。解：由图中信号关系得，31xx，uxxx232212，32332xxx，1xy。动态方程为uxx020120302100，xy001；状态变量图为9-5已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程23213213212161162uxxxxuuxxuxx，32122112xxxyxxy，写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。解：状态方程uxx1012016116100010，xy112011；状态变量图为6611s-1s-1s-163x2x1x1xu-y6116s-1s-1s-163x2x1x1xu-y--2x3x32s)1(2sssX1(s)=Y(s)X2(s)X3(s)--U(s)-y--2x3x1xu2x3x32s-12s-1s-132s-1s-1s-162113x1x1x-y12xu2y2-u1x2x3--9039-6已知系统传递函数为3486)(22sssssG，试求出可控标准型(A为友矩阵)、可观标准型(A为友矩阵转置)、对角型(A为对角阵)动态方程。解：135.015.113452)(2ssssssG；可控标准型、可观标准型和对角型依次为uxyuxx25104310；uxyuxx10254130；uxyuxx115.05.13001。9-7已知系统传递函数为)2()1(5)(2sssG，试求约当型(A为约当阵)动态方程。解：2)1(5)1(525)(ssssG；uxx555100110002，xy011。9-8已知矩阵0001100001000010A,试求A的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将A约当化。解：特征方程0)Idet(As，即014s；特征值11、12、j3、j4；特征向量依次对应矩阵1T的列，所求变换矩阵为T；jjjjT111111111111211；jjjjT11111111111121；jjTATA000000001000011。9-9已知矩阵1001A，试用幂级数法及拉普拉斯变换法求出矩阵指数(即状态转移矩阵)。解：幂级数法求解，kkkA100)1(；ttkkktAeetAket00!1)(0；拉普拉斯变换法求解，904)1/(100)1/(11001)I(11ssssAs；tteeAsLs00])I[()(11。9-10求下列状态方程的解：xx300020001。解：ttteeet32000000)(，得到)0()0()0(00000023132xxxeeexttt。9-11已知系统的状态方程为uxx111101，初始条件为1)0(1x，0)0(2x。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。解法1：ttteteessLt01101)(11；tttttttttttttteeteeteedeeteeteex212111)(00100。解法2：ssssssssssxsBuAssx21)1(111)1(11)1(1)}0()({)I()(22221；ttteesxLx212)]([1。9-12已知系统的状态转移矩阵tttttttteeeeeeeet222232332223)(，试求该系统的状态阵A。解：4321)(0ttA。(注：原题给出的)(t不满足A)0(及AttAt)()()(。)9-13已知系统动态方程uxx210311032010，xy100，试求传递函数)(sG。解：BAsCsG1)I()(，905210231503620396710021031103201100)(22231sssssssssssssssG；67372)(32sssssG。9-14试求所示系统的传递函数矩阵。uxx1012016116100010，xy112011。解：2222311611666161166116161161001)I(sssssssssssssssAs；1012016116661611611201161161)(22223sssssssssssssG；442845429461161)(22223ssssssssssG。9-15已知差分方程)(3)1(2)(2)1(3)2(kukukykyky，试列写可控标准型(A为友矩阵)离散动态方程，并求出1)(ku时的系统响应。给定0)0(y，1)1(y。解：系统的脉冲传递函数为2332)(2zzzzG，1)(zzzU；)(10)(3210)1(kukxkx，)(23)(kxky。)2(32)1(2)1(65)2)(1)(1(32)}0(3)1()0()(){()(232zzzzzzzzzzzyzyzyzUzGzY；322)1(65)(1kkky。9-16已知连续系统动态方程为uxx102010，xy01，设采样周期sT1，试求离散化动态方程。解：设)()(kutu，TktkT)1(；)2/(10)]2(/[1/1201)(11ssssssAsI，tteet220)1(5.01)(；906220)1(5.01)(eeT，)1(5.0)3(25.010)(220eetdtTT；)()1(5.0)3(25.0)(0)1(5.01)1(2222kueekxeekx，)(01)(kxky。9-17判断下列系统的状态可控性：⑴uxx100041020122；⑵uxx010110010011；⑶uxx011000010010011；⑷uxx121100040004；⑸uxx11100000000000012111；⑹uxx11000000000100012111。解：⑴101000210U，nU2rank；状态不完全可控；⑵210111210U，nU2rank；状态不完全可控；⑶1101101010001U，3rank1U；状态完全可控；⑷11132821641U，nU2rank；状态不完全可控；⑸3222231211312112111113210U，nU3rank；状态不完全可