高中数学(人教A版)必修4第三章+三角恒等变换+测试题(含详解)(经典题型)

第三章三角恒等变换1．sin105°cos105°的值为()A.14B．－14C.34D．－34解析原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案B2．若sin2α＝14，π4απ2，则cosα－sinα的值是()A.32B．－32C.34D．－34解析(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4απ2，∴cosαsinα，cosα－sinα＝－34＝－32.答案B3．sin15°sin30°sin75°的值等于()A.14B.34C.18D.38解析sin15°sin30°sin75°＝sin15°cos15°sin30°＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18.答案C4．在△ABC中，∠A＝15°，则3sinA－cos(B＋C)的值为()A.2B.22C.32D.2解析在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，3sinA－cos(B＋C)＝3sinA＋cosA＝2(32sinA＋12cosA)＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝2.答案A5．已知tanθ＝13，则cos2θ＋12sin2θ等于()A．－65B．－45C.45D.65解析原式＝cos2θ＋sinθcosθcos2θ＋sin2θ＝1＋tanθ1＋tan2θ＝65.答案D6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝π2.答案D7．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则()A．cabB．bcaC．abcD．bac解析a＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b＝2cos213°－1＝cos26°，c＝32＝cos30°，∵y＝cosx在(0,90°)内是减函数，∴cos26°cos28°cos30°，即bac.答案A8．三角形ABC中，若∠C90°，则tanA·tanB与1的大小关系为()A．tanA·tanB1B.tanA·tanB1C．tanA·tanB＝1D．不能确定解析在三角形ABC中，∵∠C90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．则有tanA0，tanB0，tanC0.又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanA·tanB0，易知1－tanA·tanB0，即tanA·tanB1.答案B9．函数f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4＝cos2π4－x－sin2x－π4＝cos2x－π4－sin2x－π4＝cos2x－π2＝sin2x.答案A10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是()A．[－2,2]B.1＋22，2C.1－22，1＋22D.－12，32解析y＝cos2x＋cosxsinx＝1＋cos2x2＋12sin2x＝12＋2222sin2x＋22cos2x＝12＋22sin(2x＋π4)．∵x∈R，∴当sin2x＋π4＝1时，y有最大值1＋22；当sin2x＋π4＝－1时，y有最小值1－22.∴值域为1－22，1＋22.答案C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cosθ2的值为()A.335B.45C．±35D．±45解析由sin(π－θ)＝2425，得sinθ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cosθ＝－725.∴cosθ2＝±1＋cosθ2＝±1－7252＝±35.答案C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cosα的值为()A.5665B.1665C.5665或1665D．以上都不对解析∵0α＋βπ，cos(α＋β)＝12130，∴0α＋βπ2，sin(α＋β)＝513.∵02α＋βπ，cos(2α＋β)＝350，∴02α＋βπ2，sin(2α＋β)＝45.∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.答案A