用样本的数字特征估计总体的数字特征——标准差

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征——标准差主讲人：蔡美玲一、复习如何根据样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标.（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.知识探究：标准差样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？7,7乙甲xx思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？环数频率0.40.30.20.145678910O（甲）环数频率0.40.30.20.145678910O（乙）甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.ks5u精品课件思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，表示这组数据的平均数。那么到的距离是什么？xixx那么样本数据到的“平均距离”是什么？xnxxxxxxSn21nxxx,,,21xxi（i=1,2,3,···，n)思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据的平均数为，则标准差的计算公式是：xnxxxxxxsn22221)()()(nxxxx,,3,2,1xnxxxx,,3,2,1思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据的平均数为，则标准差的计算公式是：xnxxxx,,3,2,1那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？s≥0，标准差为0的样本数据都相等.练习1已知一个样本数据是1，3，2，5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？答案：由，得x=4234353233315122222s3)5231(51x思考5：对于一个容量为2的样本：在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？2,21221xxsxxx)(,2121xxxx2,21221xxsxxx)(,2121xxxx思考5：对于一个容量为2的样本：在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？2,21221xxsxxx)(,2121xxxx标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.例题分析例1画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点.(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５；(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６；O频率1.00.80.60.40.212345678（1）50xs==O频率1.00.80.60.40.212345678（2）50.82xs==(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７；(4)２，２，２，２，５，８，８，８，８.频率1.00.80.60.40.212345678O（3）51.49xs==频率1.00.80.60.40.212345678O（4）52.83xs==从数学的角度考虑，人们也常用标准差的平方——方差来代替标准差，作为测量样本数据的分散程度的工具：2s方差222212)(1xxxxxxnsn简化计算公式：或是：22222121xnxxxxxxnsn22222121xxxxnsn注意：因为方差与原始的数据的单位不同，且平方后可能会夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的的，但是在解决问题时，一般采用标准差。例2甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm）：甲：25.4625.3225.4525.3925.3625.3425.4225.4525.3825.4225.3925.4325.3925.4025.4425.4025.4225.3525.4125.39乙：25.4025.4325.4425.4825.4825.4725.4925.4926.3625.3425.3325.4325.4325.3225.4725.3125.3225.3225.3225.48从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？06.42501.425乙甲，xx068.037.00乙甲，ss甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高.说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差.2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是总体的平均数.练习2甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100（1）分别计算两组数据的平均数及方差；（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定。思路点拨：（1）将样本数据代入平均数和方差的计算公式可得解；（2）哪台机床的加工的零件的直径的方差小就说明质量稳定。答案：（1）100100100991021009961100103100100981009961）（）（乙甲xx371001031001001001001009810010010099612222222甲s11001001001001009910010210010010099612222222乙s（2）两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又因为所以乙机床加工零件的质量更稳。22乙甲ss练习3从甲、乙两种玉米各抽10株，分别测得它们株高如下（单位：cm):甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：（1）哪种玉米的苗长的高？（2）哪种玉米的苗长得齐？解析：看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得整齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数。答案：（1）=300/10=30（cm）=310/10=31（cm）所以)40164040164427441627101（乙x乙甲xx)40164040164427441627101（乙x）（甲42213919142237404125101x)(.8128).2(1042222cmscms乙甲(2)所以22乙甲ss练习4教材79页练习题2作业：P793.小结：1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小。标准差，方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小。标准差的大小不会超过极差。2)标准差、方差的取值范围大于等于0，标准差、方差为0时，样本的各数据全相等表明数据没有波动幅度，数据没有离散性。3）因为方差与原始的数据的单位不同，且平方后可能会夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的的，但是在解决问题时，一般采用标准差。谢谢,下节课见!