模糊集合理论

东南大学计算机科学与工程系张志政模糊数学——基本原理及应用张志政东南大学计算机科学与工程系[e-mail]东南大学计算机科学与工程系张志政1序言介绍本课程是什么、有何用途、如何学习1.1对数学的初步认识：1.2集合和逻辑在数学中的作用和地位1.3现代数学的分类方法1.4模糊数学是什么？1.5本门课程的内容1.6如何学习本门课程东南大学计算机科学与工程系张志政1.1对数学的初步认识(1)算术、几何、代数、解析几何、数学分析、高等代数、数理统计与概率论均为数学，他们的关系如何？他们又有怎样的共同性质？（先请大家回答）东南大学计算机科学与工程系张志政AbBAbcB1.1对数学的初步认识(2)我认同的别人的观点：1要坚信数学是从实际应用而来，并且是能够到实际应用中而去的。再复杂的数学都来自于直观的实际问题：比如古代的土地丈量所以数学的发展首先是从几何的大发展。有人认为是用来描述现实世界的语言2数学本身也是可能出错的（悖论），正是这些错误和矛盾及不能够解释的现象推动数学的发展。例如：阿基里斯和乌龟：AcdBAdeB东南大学计算机科学与工程系张志政3我们曾经学过的数学都是经典的，在一定认识范围内适用的，有没有适用于整个世界的公理和定理？大家正在探索。比如非欧几何的许多例子：三角形内角和等于180度；等等都是有它本身适用范围的，而不是全宇宙都适用的。4数学家也一直在寻找数学可靠的立足点：描述对象的表示、思维方法，是现代数学的立足点：集合论、数理逻辑不过注意：这个基础不是稳固的也是有悖论的，这是数学基础理论的研究课题1.1对数学的初步认识(3)东南大学计算机科学与工程系张志政1.2集合和数理逻辑在数学中的作用和地位集合论是现代数学的基础和立足点，不同时期数学家赋予数学的基础是不同的，随着认识范围扩大和新矛盾、悖论的发现旧的基础被动摇，就有新的基础出现。现在从集合论能够推出几乎所有的数学定理。数理逻辑为我们都认可提供的描述思维方法的形式体系。东南大学计算机科学与工程系张志政1.3现代数学参考《现代数学》P.罗曼把集合当作最基本的结构，给集合及其元素上添加不同的关系及运算就构造出了一个新的结构：代数结构、拓扑结构、测度空间和泛函空间等等例如：离散数学中，从集合，在它的元素上添加关系，形成群，再添加新的运算就产生出不同的各种群等等！！集合代数拓扑……………………东南大学计算机科学与工程系张志政1.4模糊数学是什么?大于四的数{x|x4,x是实数}＝A大约为四的数A’个头超过180cm的人{p|p(age)180cm,p是人,age是实数}=B大高个子B’问：3属于A?3属于A’？190cm属于B?190cm属于B’?东南大学计算机科学与工程系张志政传统的集合，某元素是否属于该集合是确定的：或是或否？现在的问题是：有些集合，某元素是否属于它是不确定的，模模糊糊的，以这种集合为基础，讨论模糊数学。东南大学计算机科学与工程系张志政1.5本门课基本内容1序言：介绍本课程是什么、如何学习2F集合：属于F数学的基本理论3F模式识别：模糊数学的一种重要应用4F关系与聚类分析：模糊数学的一种重要应用5F逻辑：属于F数学的基本理论东南大学计算机科学与工程系张志政1.6如何学习本门课程1以离散数学为先行课！2必须了解各章节在整个课程中的地位和作用！3防止眼高手低，一定要自己在不看书的情况下能够做出例题（包括：定理和性质的证明。）！4认真完成作业！东南大学计算机科学与工程系张志政2模糊集(FuzzySet)p2-p322.1基本概念2.2F集的运算2.3F集运算的其他定义2.4F集的截集2.5分解定理2.6模糊集的模糊度东南大学计算机科学与工程系张志政2.1模糊集概念(1)－定义经典集合模糊集合定义：设在论域U上给定一个映射CA:U－{0,1}则：集合CA={u|CA(u)=1,uU}集合A的特征函数为：AAACuCuuC01)(定义：设在论域U上给定一个映射A:U－[0,1]u|－A(u)则:A称作论域U上的模糊集，A(u)称为A的隶属函数。隶属函数为0或1的特例东南大学计算机科学与工程系张志政2.1模糊集概念(2)－举例经典集合模糊集合(1)U为离散的(1)U为离散的876543214cmCA＝{长度大于4cm的线段}则：CA={8,7,6,5}即：A＝{长线段}则：A=?根据线段越短属于长线段的隶属度递减可以设：othersuuCA0}5,6,7,8{1)(71181)(iiuAi876543214cm123456781123456781东南大学计算机科学与工程系张志政2.1模糊集概念(3)－举例经典集合模糊集合(2)U为连续的(2)U为连续的CA＝{年龄大于50岁的人}A＝{老年人}110050050])550(1[5000)(12uuuuA1100500东南大学计算机科学与工程系张志政2.1模糊集概念(4)－空集与满集空集：A(u)0满集：A(u)1东南大学计算机科学与工程系张志政2.1模糊集概念(5)－模糊幂集p6一个论域U上可以定义多个F集，U上所有F集的全体记为：F(U)称作模糊幂集并且有：P(U)F(U)作业1：1幂集本身是不是集合？如果是，它是模糊集还是普通集？为什么？2请给出一个论域有多个模糊集的例子，并在一个坐标系内画出它们的特征函数曲线！3举例说明模糊集合的各种表示方法！东南大学计算机科学与工程系张志政2.2模糊集的运算—讲述集合之间的运算两个集合之间的运算是两个集合的隶属函数之间的运算当隶属函数的值域为{0,1}，则变成普通集合的运算当隶属函数的值域为[0,1]，则变成普通集合的运算包含、相等、交、并、补、差包含、相等、交、并、补、差CACBuCB(u)CB(u)CA＝CBCACB&CBCA(CACB)(u)=CA(u)CB(u)=min(CA(u),CB(u))(CACB)(u)=CA(u)CB(u)=max(CA(u)CB(u))(CA)c(u)=1-CA(u)ABuA(u)B(u)A＝BAB&BA(AB)(u)=A(u)?B(u)=?(A(u),B(u))(AB)(u)=A(u)?B(u)=?(A(u),B(u))Ac(u)=1-A(u)性质：自反、对称、传递、幂等、交换、结合、分配、对偶性质：自反、对称、传递、幂等、交换、结合、分配、对偶？东南大学计算机科学与工程系张志政定义：(AB)(u)=A(u)B(u)=min(A(u),B(u))(AB)(u)=A(u)B(u)=max(A(u),B(u))2.2模糊集的运算－最大最小运算U10A(u)U10B(u)U10Ac(u)交并补U10(AB)(u)U10(AB)(u)东南大学计算机科学与工程系张志政2.2模糊集的运算－最大最小运算下的性质(1)一个扩展：)(sup)()(uAuAuAtTttTtTtt)(inf)()(uAuAuAtTttTtTtt东南大学计算机科学与工程系张志政2.2模糊集的运算－最大最小运算下的性质(3)(F(U),,,c)的性质：(p13)作业(3)：证明所有最大最小运算下的(F(U),,,c)的性质东南大学计算机科学与工程系张志政2.3模糊集运算的其他定义－“?”其他二元运算的情况在实际的工程应用中，单单采用min、max不适用，逐步探索出了其他的运算（p15）统称为模糊算子,表示为*和*用映射表示：(AB)(u)=A(u)*B(u)=T(A(u),B(u))(AB)(u)=A(u)*B(u)=S(A(u),B(u))讨论所有这些模糊算子的共性，就是讨论映射：T和S的性质东南大学计算机科学与工程系张志政2.3模糊集运算的其他定义——T范数、S范数T范数定义：映射：[0,1]2[0,1]a,b,c[0,1]交换律：T(a,b)=T(b,a);结合律：T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c));单调性：若a1≤a2,b1≤b2,则T(a1,b1)≤T(a2,b2);边界条件：T(1,a)=aS范数定义：映射：[0,1]2[0,1]a,b,c[0,1]交换律：S(a,b)=S(b,a);结合律：S(S(a,b),c)=S(a,S(b,c));单调性：若a1≤a2,b1≤b2,则S(a1,b1)≤S(a2,b2);边界条件：S(a,0)=a又称：T三角模又称：S三角模三角范算子东南大学计算机科学与工程系张志政对于模糊算子*（包括*和*），它的清晰域为：(*)={(x,y)|x*y=0或x*y=1}因为：(AB)(u)=1(0)A(u)*B(u)=1(0)T(A(u),B(u))=1(0)(AB)(u)=1(0)A(u)*B(u)=1(0)S(A(u),B(u))=1(0)所以：模糊算子清晰域的大小决定了确定属于或确定不属于集合的元素的数量亦即模糊算子的模糊程度2.3模糊集运算的其他定义——T范数、S范数的清晰域东南大学计算机科学与工程系张志政2.3模糊集运算的其他定义作业1：证明：三角范算子T和S是对偶算子p17-18东南大学计算机科学与工程系张志政2.4模糊集的截集——从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”定义：设AF(U),[0,1]则：(1)称A为A的一个-截集，称为阈值（或置信水平）(2)称A为A的一个-强截集(3)SuppA={u|uU,A(u)0}A的支集KerA={u|uU,A(u)=1}A的核当A的核不空，称A为正规F集})(,|{uAUuuA})(,|{uAUuuAU1东南大学计算机科学与工程系张志政2.4模糊集的截集——性质：注意从有限到无限截集强截集性质1(AB)=AB(AB)=AB性质2若{At|tT}，则)()(TttTttAA)()(TttTttAA性质3设1、2[0,1]，AF（U），若12则性质412AA性质1、2、3、4、5东南大学计算机科学与工程系张志政2.5分解定理——模糊集用普通集合表示可以看到，当从1下降到0的时候，就是从KerA逐渐扩展为SuppA，因此，F集A可以看作是普通集合族{A|[0,1]}U1东南大学计算机科学与工程系张志政2.5分解定理——模糊集用普通集合表示（2）数积的定义：模糊集合的数积：设[0,1]，AF(U)，记(A)(u)=A(u)则称A为与A的数积。U10A(u)(A)(u)=A(u)U10A(u)数积的性质：1若12则1A2A2若AB则AB东南大学计算机科学与工程系张志政2.5分解定理——模糊集用截集表示：分解定理1分解定理1：设AF(U)，则]1,0[)(AA证明：因为A是普通集合，所以它的特征函数)(0)(1)(uAuAuCA)()0),(max())0(),(max())0(),1(max()))(()),((max())(()()()()()()()(]1,0[]1,0[uAuAuCuCuCuAuAuAuAuAAuAAuAA推论：A(u)=sup{|uA}东南大学计算机科学与工程系张志政2.5分解定理——分解定理1举例543213.07.016.05.0uuuuuAA1＝{u3}A0.7＝{u3,u4}A0.6＝{u2,u3,u4}A0.5＝{u1,u2,u3,u4}A0.3＝{u1,u2,u3,u4,u5}3111uA437.07.07.07.0uuA4326.06.06.06.06.0uuuA43215.05.05.05.05.05.0uuuuA543213.03.0