全概率公式与贝叶斯公式

§1.4全概率公式与贝叶斯公式教学对象：数学专业本科生教学目标：让学生掌握全概率公式与贝叶斯公式的应用课型：新授课课时：1课时重点与难点：全概率公式与贝叶斯公式的应用背景、相互的联系与区别以及在实际中的应用教学方法：讲授法，情境问题法教学安排：（1）课堂导入（2）讲授新课、举例（3）拓展与思考（4）思考（5）布置作业教学过程：（一）给出引例，导入新课在前面的学习中，我们已经熟悉了求概率的几种方法：频率方法、古典方法和几何方法，对较简单的事件，这些方法是很好用的，但是当事件比较复杂时，这些方法用起来就显得力不从心了。引例小王要去外地出差几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾。若已知如果几天内邻居记得浇水，花存活的概率为0.8，如果几天内邻居忘记浇水，花存活的概率为0.3，假设小王对邻居不了解，即可以认为他记得和忘记浇水的概率均为0.5，问：几天后他回来花还活着的概率。讨论：这个问题可以用我们以前所学过的方法求解吗？【评析】对此类较复杂的概率问题，用我们以前的知识就解决不了了。（二）讲授新课在上例中，事件“花活着”有两种情况可以导致它发生：记得浇水和忘记浇水，而“记得浇水”和“忘记浇水”把样本空间划分成了两个互不相容的部分，称为一个划分，具体的定义如下：1.划分定义1设nBBB,,,21，且满足①iniB1（完全性）；②对ji,，jiBB（互斥性）。则称nBBB,,,21构成的一个划分。【课堂提问】①能举出日常生活中划分的例子吗？②最简单的划分是怎样的？③仔细观察上图，当nBBB,,,21构成的一个划分，nBBB,,,21是否也将任一个事件A划分成了若干个互不相容的部分？它们如何表示？【评析】①一块玻璃摔在地上破碎了，各个碎片就是原来玻璃的一个划分。②最简单的划分就是B和B.③当nBBB,,,21构成的一个划分，nBBB,,,21也将任一个事件A划分成了若干个互不相容的部分，它们分别表示为nABABAB,,,21，当然，它们中间可能有的是。2.全概率公式在上例中，设B=“记得浇花”，B=“忘记浇花”，则B和B就构成了的一个划分，设事件A=“花还活着”，则A也被B和B划分为两个互不相容的部分：BAAB,。由前面概率的性质知道：)()()()(BAPABPBAABPAP)()|()()|(BPBAPBPBAP=0.85.0+0.35.0=0.55。性质1.4.3（全概率公式）设nBBB,,,21为样本空间的一个划分，如果niBPi,,2,1,0)(，则对任一事件A有)|()()(1iniiBAPBPAP.证明：略【例题1】某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，这3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？解：设1B=“他是谨慎的”，2B=“他是一般的”，3B=“他是冒失的”，则321,,BBB构成了的一个划分，设事件A=“出事故”，由全概率公式：)|()()(31iiiBAPBPAP%2030.0%5015.0%2005.0=0.125。3.贝叶斯公式在“浇花”的例子中，我们反过来思考这样一个问题：假若小王回来，发现花还活着，那么，邻居记得浇花的概率是多大？即已知结果，要求这个结果是由某种原因所导致的概率，这就是贝叶斯公式解决的问题。性质1.4.4（贝叶斯公式）设n,B,,BB21是样本空间的一个划分，则.,,2,1,)|()()|()()|(1niBAPBPBAPBPABPnjjjiii证明：略。回到上面的例子中，可以求出当发现花还活着，邻居记得浇花的概率.7271.03.05.08.05.08.05.0)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP【例题2】某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病），现某人的检验结果为阳性，问他真的患肝癌的概率是多大？【猜猜看】师：评大家的直觉，此概率大概为多少？生：……师：我们用贝叶斯公式计算一下，看看谁猜得更接近些。解：记事件B“被检查者患有肝癌”，A“检查结果成阳性”，由假设，0004.0)(BP,9996.0)(BP,99.0)|(BAP,001.0)|(BAP,由贝叶斯公式，得.284.0001.09996.099.00004.099.00004.0)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP【思考】这个结果多少让人觉得惊讶，既然检查结果成阳性真的患肝癌的概率只有0.284，如何确保诊断的无误呢？对！方法就是——复诊！复诊时，此人患肝癌的概率不再是0.0004，而是0.284。这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患病的概率进行了修正，因此将由贝叶斯公式求出的概率成为修正概率。假若第二次检查还是呈阳性，我们类似可以计算出他患肝癌的概率.997.0001.0716.099.0284.099.0284.0)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP上式表明：如果第二次复查结果仍然呈阳性，那么他患病的概率就达到了99.7%，此例说明了复查可以提高诊断的准确性。（三）课堂小结全概率公式——由因求果，贝叶斯公式——执果寻因关键点：什么时候适合用全概率公式和贝叶斯公式？一个事件发生的前提有多种可能，每一种可能都可导致此事件发生。（四）思考在伊索寓言《狼来了》中，当小孩第三次叫“狼来了”的时候，没有人再相信他，你能用贝叶斯公式解释吗？（五）布置作业习题1.452P:15、16