第5章取样积分和数字式平均

1Chpter5SampledIntegrationandDigitalAveraging5.1取样积分原理5.2指数式门积分分析5.3取样积分器的工作方式5.4取样积分器参数选择及应用5.5数字式平均25．1取样积分原理问题的提出：锁定放大器不能恢复脉冲波形，其中的低通会滤除其高频分量，导致脉冲波形的畸变。测量这类信号的有效方法是取样积分与数字式平均。工作方式：单点式和多点式;单点式又分为定点式和扫描式。定点式：反复采样信号波形上某个特定时刻点的幅度；扫描式：采样点沿着波形从前向后逐次移动，用于恢复和记录信号波形。35.1.1线性门积分积分器输出为:uo(t)=Vit/RCoo001()(')d'tutxttvRC=+∫若x(t)为幅度为Vi的阶跃电压，而且初始电压uo0=0时：1.如果开关K始终闭合：0Vi4特点：受电路线性范围限制，适于小信号。阶跃响应近似为：uo(t)=Vit/R(t)C≈Vit∆/RC=VitTg/TRC2.如果r(t)周期为T，采样门闭合时间宽度为TgR，门接通时R(t)=∞，门断开时平均阻值：R(t)≈R/∆=RT/Tg等效时间常数：Te=R(t)C=RCT/Tg占空系数：∆=Tg/T，TC=RC55.1.2指数平均门积分1.如果开关K始终闭合：ood()()()dutxtRCutt=+2.如果r(t)周期为T，采样门闭合时间宽度为Tg：oi()(1e)tRCutV−=−阶跃响应：等效积分电阻：R，门接通时R(t)=∞，门断开时等效时间常数为：Te=RC/∆=RCT/Tg∆=Tg/T为开关闭合的占空系数阶跃响应：oi()(1e)tRCutV∆−=−65.2指数式门积分分析取样过程：将p(t)展开为傅里叶级数s(π)()exp(j)πnnptntnω∞=−∞=∑ΔΔΔsin其频谱为s(π)()()πnnPnnωδωω∞=−∞=−∑ΔΔΔsin取样信号ss(π)()()()()exp(j)πnnxtxtptxtntnω∞=−∞==∑ΔΔΔsin其频谱为sssin(π)()()*()()πnnXXPXnnωωωωω∞=−∞==−∑ΔΔΔ5.2.1取样过程频域分析7SSsin(π)()()πnnXfXfnfn∞=−∞∆=∆−∆∑85.2.2指数式门积分电路频域分析ooeed()()()d()()ututxttRtCRtC+=ood()()()()()dututptxtpttRCRC+=作傅里叶变换，得:ooj()()()()()RCUUPXPωωωωωω+∗=∗oeod()()()()dutRtCutxtt⋅+=e()/()RtRpt=9ssoo(π)(π)()()()jπjπnnnnUUnXnRCnRCnωωωωωωω∞∞=−∞=−∞+−=−∑∑ΔΔΔΔΔΔsinsin取样积分器的传输过程是在nωs（n为整数）各频率点处的滤波过程，滤波的时间常数为RC/∆。将P(ω)带入上式得ssoo(π)(π)j()()()()()ππnnnnRCUUnXnnnωωωδωωωδωω∞∞=−∞=−∞+∗−=∗−∑∑ΔΔΔΔΔΔsinsin()o2s()sin(π)1|()|()π1()/nUnHXnnRC∆ωωωωω∞=−∞==⋅+−∑∆∆105.2.3指数式门积分器的输出特性幅度响应()2ssin(π)1|()|π1()/nnHnnRC∆ωωω∞=−∞=⋅+−∑∆∆（1）在取样频率fs的各次谐波处的带宽取决于∆/(2πRC)，随RC的增加而减少，随占空比∆的减少而减少。（2）在fs的各次谐波处，通带幅度服从sin(nπ∆)/(nπ∆)的规律。1.传输特性∆=0.2时的|H(f)|11考虑x(t)＝Xmcos[ω(t-τ)]（1）当x(t)的频率ω=ωs=2π/T时/omssin(π)()cos()1eπt∆RCutXωτ−⎡⎤=−⎣⎦∆∆1）指数项说明,输出沿指数曲线逐渐积累,时间常数Te=∆/RC2）当τ从0逐渐变化到T时，输出显示出一个完整周期的正弦波。这正是扫描式取样积分器的工作原理。3）稳态输出时的衰减系数为sin(π∆)/π∆，若要求衰减系数小于3dB，则sin()12ππ∆∆解得π∆1.392，即Tg0.4431T2.输出特性分析12（2）当x(t)的频率ω=nωs时，1）当改变延迟时间τ时，输出按cos(nωsτ)的规律变化，这说明通过改变延迟时间τ可以恢复出被测信号的任何高次谐波分量的波形。2）积分的时间常数也是Te=RC/∆。3）为了使恢复的被测信号n次谐波分量的衰减系数小于3dB，要求：Tg0.4431T/n/omssin(π)()cos()1πt∆RCnutXnenωτ−⎡⎤=−⎣⎦∆∆13（3）当f=nfs+∆f时，指数式门积分器在f=nfs处的幅度响应为上式说明：输入被测信号在各谐波处要经过一阶带通滤波，带宽取决于等效时间常数Te=RC/∆。各次谐波处的幅度按sinc函数分布，在f=fs/∆=1/Tg处，幅度响应|Hn(f)|=0。2sin()1|()|21nSnHfnRCfnf∆πππ=⋅⎛⎞⎟⎜+−⎟⎜⎟⎜⎝⎠（∆∆145.2.4指数式门积分的信噪改善比有效积分时间：NTg5TC∴SNIR=√N√5TC/Tg对有色噪声：2/12CgTTTSNIReα−=+其中，α∝1/RC为有色噪声相关函数指数因子。∵指数式积分，∴接近饱和时积分效果差，对白噪：SNIR=√2TC/Tg155．3取样积分器的工作方式（2）采样积分次数NN=(SNIR)25.3.1定点工作方式（1）原理161.原理用于恢复波形BSBTTtTT∆=−门宽Tg每次移动∆t考虑到TSTB，简化为BSTTtT∆≈5.3.2扫描工作方式172.扫描模式的SNIR门宽Tg每次移动∆t。对于被测信号的任一点，被采样次数为：N=Tg/∆tTB起始点可控，斜率可控，便于选择恢复波形的位置和宽度。gTSNIRNt==∆根据法则,N18设x(t)的频率为ω的分量为xi(t)=Vmexp(jωt)时刻t的积分平均结果为gmog1()exp(j')d'ttTutVttTω−=∫igggsin(/2)()exp(j/2)/2TxtTTωωω=−gogisin(/2)()/2TuHxTωωω==频率响应为00.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91fTg|H(f)|0.420.7070.51123.扫描模式的传输特性194.定点方式与扫描方式相结合20说明fC与Tg成反比。∴欲恢复信号的频率越高，Tg须越小。设需要恢复的昀高频率分量为fc，令|H(fc)|≥0.707(-3dB拐点)，得fcTg≤0.42,Tg≤0.42/fc5．4取样积分器的参数选择及应用1.门宽Tg的选择5.4.1取样积分器参数选择Tg↓→分辨率高N↓→SNIR↓使∆t↓以提高SNIR→TS↑，须折衷考虑。212.积分器时间常数TC=RC的选择：为使电容充电充分，须NTg≥5TC,代入上式得TC=RC为时间常数2gSCB5TTTTT≥BC2g5STTTTT≥2Bgs2.5()TTSNIRTT≥将2gC()2SNIRTT=代入得：gTNt=∆BSTTtT∆≈gSBTTNTT=得：3.慢扫描时间TS选择2CgTSNIRT=2()2gCSNIRTT=22例：信号频率100Hz(T=10ms)，测量范围=2ms，希望SNIR=10，选TB=3ms以覆盖测区，Tg=100µs，求TSBCS2g575sTTTTT≥=22gC()100s105ms22SNIRTTµ===i解：234．指数式取样积分器参数选择流程245.4.2基线取样与双通道系统方法：信号与基线分别采样、积分，相减补偿漂移。作用：可以补偿抵消暗电流、漏电流、漂移造成的测量误差。要求：信号选通与基线选通的时间关系必须与斩波信号同步。1.基线取样基线漂移问题：252．双通道取样积分系统将被测量与标准量对比，以消除误差。功能插件可选：A输出、B输出、A-B、A×B、A/B、log(A/B)等；对光强、漂移、温度进行补偿；若选A×B功能，B通道加可变Td，则为相关器。265.4.3多点取样积分器系统275.4.4取样积分器应用1．材料的光学特性检测用基线取样法以消除杂散光、暗电流的影响。2．超声波检测材料特性283.霍尔效应测量VH=RHIB/dwithRH⎯霍尔常数d⎯厚度I和B已知任一项就可以测另一项。295．5数式字平均Boxcar积分器分辨率高，但每个信号周期只采样一次，信号利用率低，低频信号不宜。处理时间太长，漂移失真。例如：10Hz信号,Tg=0.1ms,要求SNIR=100,TB=0.1s;则TS≈29天。数字平均每个信号周期采样多次，信号利用率高，数字存储无漂移。BOXCAR积分和数字式多点平均的特点比较：不太窄(分辨差)好(存储器)适于低频100%数字平均窄（分辨好）差(电容)适于高频Tg/T×100%Boxcar门宽Tg保持时间频率采样效率SNIRcg2/TTN305.5.1数字式平均原理Mj,,2,1⋅⋅⋅=101()(),NjiAjxtiTN==+∑-T为取样周期。第j道平均结果：315.5.2数字式平均的信噪改善比设信号为：x(t)=s(t)+n(t)采样道数：j=1,2,…,M,间隔为∆t；重复次数：i=1,2,…,Nxij=sj+nij累加平均：∑−==101NiijjxNx1.N→∞时的SNIRN→∞时，平均结果为数学期望值E[xij]=E[sj]+E[nij]对零均值噪声，E[nij]=0，∴E[xij]=sj，σno＝0通过增加N可使SNIR达到任意值。设n(t)的rms值为σn，则对单次取样：SNRi=Sj/σnO0jSSNR==∞OiSNRSNIRSNR==∞322.N有限时的SNIR（1）对高斯白噪设其rms值为σn，则对单次取样：SNRi=Sj/σn只要取样间隔∆t足够大，则nij(i=1,2,…,N)互不相关，OiSNRSNIRNSNR==OnnjjNSNSSNRNσσ==N次累加后：111000NNNijjijiiixSn−−−====+∑∑∑12122201(1)001......2NNNijjjNjijijmjiiminEnnnEnEnn−−−−===+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑1222n0NijijinEnNσ−=⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑22nonnijnNNσσσ===33（2）对高斯有色噪声平均后的均方值为：1222no12/[(0)/][1()()]NnnknNRNNkkNσρ−===+−∑其中：()()/(0)nnnkRkRρ=SNRO=Sj/σnoSNRi=Sj/σn取样累加后的均方值为：12122201(1)001......2NNNijjjNjijijmjiiminEnnnEnEnn−−−−===+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑11(0)2()()NnnkNRNkRk−==+−∑11oi21()()NnkSNRSNIRNNkkNSNRρ−===+−∑E[nini+k]=Rn(k),Rn(0)=σn2345.5.3数字式平均的频域描述平均结果为：)(1)(10iTtxNtANi−=∑−=)]()([110iTttxNNi−∗=∑−=δ平均器的脉冲响应函数为：)(1)(1iTtNthNi−=∑=δ)(1)(10iTtNtxNi−∗=∑−=δ1．用傅立叶变换方法分析取样过程：x(t-iT)＝x(t)*δ(t-iT)35j(j)()edtHhttωω∞−−∞=∫幅频特性为：1sin(/2)|(j)|sin(/2)NTHNTωωω=×为梳齿滤波器。11jj0011()edeNNtiTiitiTtNNωωδ−−∞−−−∞===−=∑∑∫jj11e1eNTTNωω−−−=×−由欧拉公式，得j(1)/21sin(/2)(j)esin(/2)NTNTHNTωωωω−−=××由傅里叶变换，得平均器的频率响应函数：3600.511.522.5300.10.20.30.40.50.6