初二(初升高)尖子生拔高训练——因式分解方法(1)

初二（初升高）尖子生拔高训练——因式分解方法（1）一、知识梳理1.分解因式（1）把一个多项式化成几个整式的__________,这种变形叫做把这个多项式分解因式。（2）因式分解与整式乘法是互逆关系。注意：因式分解与整式乘法的区别和联系:①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式；②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。2.提公共因式法（1）如果一个多项式的各项含有________,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如:ab＋ac＝a（b＋c）（2）概念内涵:①因式分解的最后结果应当是“积”；②公因式可能是单项式,也可能是多项式；③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）3.运用公式法（1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。（2）主要公式：①平方差公式：____________________②完全平方公式:____________________(3)易错点：因式分解要分解到底。如就没有分解彻底。4.因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先______________；(2)再看能否使用公式法；(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内______________.参考答案：1.(1)积的形式2.(1)公因式3.(2),4.(1)提取公因式(5)不能再分解为止二、典例讲解1.因式分解的定义【例1】（2014安徽省中考）下面的多项式中，能因式分解的是()A.m2+nB.m2-m+1C.m2-nD.m2-2m+1【解析】在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，分解到每个因式不能再分为止。因此，根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解。【答案】D练习1.（2014四川凉山一中月考）下列多项式能分解因式的是【】A．B．C．D．【答案】C练习2.（2014贵州黔南三中周测）下列多项式中，不能用公式法分解因式的是【】A．B．C．D．【答案】D2.利用提取公因式的方法分解因式【例2】多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（）A．(n－2)(m＋m2)B．(n－2)(m－m2)C．m(n－2)(m＋1)D．m(n－2)(m－1)【解析】相反的项要变形，然后找到各项的公共部分，提出即可。【答案】C练习3.（）【答案】a2+2a+6练习4.【答案】（1-a）练习5．3ab2＋a2b＝_______.【答案】ab(3b+a)3.公式法分解因式【例3】（2014江苏无锡实验中学期中）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（）A．（x﹣1）（x﹣2）B．x2C．（x+1）2D．（x﹣2）2【解析】把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2。【答案】D练习6.（2014湖北恩施一中期中）a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（）A．a2b（a2﹣6a+9）B．a2b（a﹣3）（a+3）C．b（a2﹣3）2D．a2b（a﹣3）2【答案】D练习7.下列分解因式正确的是（）A．3x2－6x＝x(3x－6)B．－a2＋b2＝(b＋a)(b－a)C．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)D．4x2－2xy＋y2＝(2x－y)2【答案】B练习8.（2014内蒙古呼和浩特中考）下列各因式分解正确的是（）A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2D．x2﹣4x=x（x+2）（x﹣2）【答案】C4.两两分组分解因式【例4】【解析】这个式子有四项考虑分组的方法分解因式，找有公因式的项分一组，所以一三分一组，二四分一组，再提取公因式就可以了。【答案】原式=（7x2+xy）-（3y+21x）=x（7x+y）-3（7x+y）=（x-3）（7x+y）练习9．对2m+mp+np+2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）A.(2m+2n+np)+mpB.(2m+np)+(2n+mp)C.(2m+2n)+（mp+np）D.(2m+2n+mp)+np【答案】C练习10．分解因式：【答案】（5x2-1）（x-3）练习11.多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为（）A.－(x＋a)(x＋b)B.(x－a)(x＋b)C.(x－a)(x－b)D.(x＋a)(x＋b)【答案】C5.一三分组分解因式【例5】【解析】这是一个四项式，考虑分组分解因式，这个式子有两个平方项，所以考虑一三分组进行因式分解。【答案】原式=1-（x2-4xy+4y2）=1-（x-2y）2=（1-x+2y）（1+x-2y）练习12．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（）A.(x－6y＋3)(x－6x－3)B.－(x－6y＋3)(x－6y－3)C.－(x－6y＋3)(x＋6y－3)D.－(x－6y＋3)(x－6y＋3)【答案】C练习13.因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________.【答案】(3x+y+2)（3x-y-2）6.因式分解的综合题【例6】已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值【解析】先把原式进行因式分解，式子有四项考虑分解因式，再把a＋b=0代入即可求出结果。【答案】原式=a3－2b3＋a2b－2ab2=（a3＋a2b）－（2b3+2ab2）=a2（a+b）-2b2（a+b）=（a+b）（a2-2b2）把a＋b=0代入，原式=0练习14.已知a.b.c为△ABC的三条边的长,当时，试判断△ABC属于哪一类三角形；【答案】等腰三角形练习15.（a+b）2-4（a+b-1）【答案】（a+b-2）2练习16.已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值【答案】361.．【答案】m(n+3)22.xy﹣x=．【答案】x（y﹣1）3.（2014海南省中考）=.【答案】(x+1)(x-1)4.（2014陕西省中考）．【答案】xy(x-y)25.2x2﹣10x=．【答案】2x（x﹣5）6.2x2﹣10x=．【答案】2x（x﹣5）7.x2－36=【答案】（x＋6）（x－6）。8.a2﹣9=．【答案】（a+3）（a﹣3）。9.2x2－8＝．【答案】2(x＋2)(x－2)。10.x2﹣9=．【答案】（x+3）（x﹣3）。11.（2014江苏淮安中考）。【答案】(a+1)212.分解因式：ax2－ay2=.【答案】a（x＋y）（x－y）。13.分解因式：=．【答案】(a-3)214.分解因式:＝.【答案】(a+2b)(a-2b)15.分解因式.【答案】(x-y)(x+z)16．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A．8B．4C．±8D．±4【答案】C17．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2-6x-9B．a2-16a+32C．x2-2xy+4y2D．4a2-4a+1【答案】D18．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．【答案】y219．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2【答案】-30ab20．把下列各式分解因式：①a2+10a+25②m2-12mn+36n2【答案】①（a+5）2；②（m-6n）221．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．【答案】422．你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考.联想.探究，进行整体思考.整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？（x+2y）2-2（x+2y）+1【答案】（x+2y-1）2；__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．下列各式属于正确分解因式的是（）A．1+4x2=（1+2x）2B．6a-9-a2=-（a-3）2C．1+4m-4m2=（1-2m）2D．x2+xy+y2=（x+y）2【答案】B2．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（）A．（x-y）4B．（x2-y2）4C．[（x+y）（x-y）]2D．（x+y）2（x-y）2【答案】D3．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．【答案】-y2；2x-y4．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．【答案】-2或-125.分解因式：2x2－4x＋2=【答案】2（x－1）26.分解因式：=．【答案】x(x+y)7.分解因式：3a2b+6ab2=．【答案】3ab（a+2b）。8.分解因式：8a2﹣2=．【答案】2（2a+1）（2a﹣1）。9.分解因式：x3﹣x=．【答案】x（x+1）（x﹣1）10.分解因式：a2﹣2a=．【答案】a（a﹣2）11.因式分解：m2﹣mn=．【答案】m（m﹣n）12.分解因式：x2﹣5x=．【答案】x（x﹣5）13.因式分解：x3﹣x=．【答案】x（x+1）（x﹣1）14.分解因式：3m2﹣6mn+3n2=．【答案】3（m﹣n）215.已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，则y的值为．【答案】216.分解因式：3a2﹣12=．【答案】3（a+2）（a﹣2）。17.分解因式：【答案】ab(b+2)(b-2)18.（2014四川广元一中期末）分解因式：=【答案】3m(m-3n)219.因式分解：=【答案】(x+3)(x-3)20.分解因式：x3-6x2+9x=【答案】x(x-3)221.(1)xy3-2x2y2+x3y(2)（x2+4y2）2-16x2y2【答案】(1)xy（x-y）2；(2)（x+2y）2（x-2y）222．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．【答案】49