高等数学数列极限

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（1）第三讲数列的极限授课教师：易学军•欢迎观看第二章极限本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。第二章极限第一节数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质四、数列的收敛准则.)(为定义域的函数是以正整数集设＋Znf},)(|{)(NnnfxxZffnn的值域将,增大的次序排列出来所按自变量中的元素nxn得到的一串数：,,,,21nxxx称为一个数列,记为{xn}.1.定义数列中的每一个数称为数列的一项xn=f(n)称为数列的通项或一般项一、数列及其简单性质数列也称为序列2.数列的表示法公式法图示法表格法运用数轴表示运用直角坐标系表示介绍几个数列xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……例1,2,,8,4,2:}2{)1(nn.2:nnx通项…xnx2x1n214121x0x381…••••••••••,21,,81,41,21:21)2(nn.21:nnx通项01–1nx212nxx,)1(,,1,1,1,1:})1({)3(11nn.)1(:1nnx通项所有的奇数项所有的偶数项xn1211M3x1xnx2x4x212nx••••••••••0,)1(1,,31,0,21,0,1,0:)1(1)4(nnnn.)1(1nxnn通项：所有奇数项1xnx3x2x1x02132431nn………••••••••••…,1,,43,32,21:1)5(nnnn.1:nnxn通项3.数列的性质单调性有界性则称满足若,}{21nnxxxx(1)数列的单调性.}{,}{nnxx记为严格单调增加单调增加则称满足若,}{21nnxxxx.}{,}{nnxx也记为单调增加不减少的数列单调减少的情形怎么定义？则称满足若,}{21nnxxxx.}{}{nnxx记为严格单调减少单调减少则称满足若,}{21nnxxxx.}{,}{nnxx也记为单调减少不增加的严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列(2)数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？,|)(|,I,0成立有时使得当若MxfxM.I)(上有界在区间则称函数xfOxyMMMyMy()I)(xfy,,||,0成立使得若NnMxMn.}{.}{是无界的否则称有界则称数列nnxx数列的有界性的定义有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：|xn|M*,nNxnU(0,M*),nN从数轴上看,有界数数列{xn}的全部点都落在某区间(－M*,M*)中.()x0M*－M*••••••••••nx例2…xnx2x1n214121x0x381…••••••••••,21,,81,41,21:21)1(nn).21(,21Mn可取有界观察例1中的几个数列：01–1nx212nxx).1(,})1{(1Mn可取但有界不单调,)1(,,1,1,1,1:})1({)3(11nnxn1211M3x1xnx2x4x212nx••••••••••0,)1(1,,31,0,21,0,1,0:)1(1)3(nnnn).1(,)1(1Mnn可取但有界不单调1xnx3x2x1x02132431nn………••••••••••…,1,,43,32,21:1)4(nnnn.)1(,1Mnn可取有界xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……,2,,8,4,2:}2{)5(nn).2(,}2{nnx但下方有界：无界有些数列虽然无界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.若xnM,MR,则称{xn}有上界.若xnm,mR，则称{xn}有下界.{xn}:有界既有上界又有下界..*||*,*},|||,|max{*,MxMxMmMMMxmnnn即则取,}{的所有上界中的最小者数列nx.sup,nx记为称为数列的上确界,}{下界中的最大者的所有数列nx.inf,nx记为称为数列的下确界一个数列有界(有上界,有下界),则必有无穷多个界(上界,下界).,,00使得至少存在一个若对nM.}{,||0是无界的则称数列成立nnxMx现在来讨论如何定义数列的无界：,,||,0成立使得若ZnMxMn.}{有界则称数列nx首先看有界性定义的关键所在使不等式不成立若有一个0n这么办？M对所有的例3.}2{是无界的证明数列n证.||,0,00MxnMn使找一个即要对证无界,)1(log,|2|2MMnMn不妨设则令.|2||2|,log,120log20MMnMMn时当取,01M,0log1][log,1][log2220MMMn则取.|2||2||2|||2200log1][logMxMMnn.}2{是无界的由定义可知数列n二、数列的极限n21nn)1(11nn001,时无限增大当由前面我们看到：n极限描述的是变量的变化趋势.讨论数列nn10)1(当n无限增大时的变化趋势.容易看出:当n无限增大时,.10)1(无限地趋近于零nn101310112101nn210121014101x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*••••••••••••••••••••••••••10.)O,(U,,0中了以后的所有项就都落在从某一项开始)1O,(U)O,(U“n无限增大”记为n.此时称数列nnnx10)1(}{当n时以零为极限,记为：.010)1(limnnn这就是该数列的变化趋势.010)1(010)1(nnnn”记为无限地接近于“的图上看,nnnx10)1(}{从数列101310112101nn210121014101x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*••••••••••••••••••••••••••量化表示：n时,xna..|0|)O,(Unnxx预先任意给定一个正数0,不论它的值多么小,当n无限增大时,数列{xn}总会从某一项开始,以后的所有项都落在U(0,)中.0010)1(|0|nnnx,0N（在U(0,)外面只有有限项）,时当Nn0010)1(nn,0N,时当Nn:010)1(limnnn其中,是描述点xn与点0无限接近的0度量标准,它是预先任意给定的,与{xn}的极限存在与否无关..}{,本身取决于数列是否存在nxNNN,;,则数列无极限存在则数列有极限不存在.,,NN所有大于则其不唯一存在如果,.有关与并且的正整数均可取作为NN,,),(则值越小一般说来可记为NN.的值越大N由N存在与否判断数列的极限是否存在.nN描述n.通过目标不等式来寻找N0,N=N().不等式010)1(nn称为目标不等式..limaxnn一般地,如果数列{xn}当n时,列{xn}当n时以a为极限,记为xn可以无限地趋近某个常数a,则称数此时,也称数列是收敛的.例4nn21limnnn)1(1lim1limnnn001若{xn}当n时没有极限,则称{xn}发散.,0若,0N时,使当Nn||axn记为,limaxnn或.)(naxn此时,也称数列{xn}是收敛的.,}{,时的极限当为数列则称数成立nxan极限描述的是变量的变化趋势数列的项不一定取到它的极限值.数列极限的定义：例5.021limnn证明：).1||(0limaann一般有例6.0sin1limnnn证明：例7.lim,,,,,:}{aaaaaxnn证明设例8.||||lim,lim:axaxnnnn则若证明例9.,lim),12(lim),2(lim}{Zmaxmnaxmnaxxnnnnnnn其中则满足证明：如果例10.1lim:,,1,,1nnnxnnnnnnx证明为奇数当为偶数当设1.唯一性定理若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一.三、数列极限的性质设数列{xn}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证运用反证法.,lim,limbabxaxnnnn,0,于是;||,,011axNnNn时当;||,,022bxNnNn时当,},,max{21时则当取NnNNN2||||||||bxaxbxxabannnn任意性常数由的任意性,上式矛盾,故a=b.唯一性定理的推论limaxnn}{nx的任何一个子数列都收敛,且均以a为极限.充分必要条件何谓子数列？子数列的概念在数列{xn}:x1,x2,,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为}.{knx唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．例11.)1(lim1nn求例12.}8sin{}{的敛散性判别nxn:limaxnn有时当,0,,0NnN||axn||||||axaxnn||||axn,则似乎可以得到如果固定?}{有界的结论nx回想数列的极限2.有界性定理若数列{xn}收敛,则{xn}必有界.证1,limaxnn设则由极限定义,取时,,0N,时当Nn1||axn||1||axn即有|}|,|,||,|,||1{max21NxxxaM取则NnMxn,||由数列有界的定义得：数列{xn}收敛,则必有界.该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.例如,{(－1)n}.有界性定理的推论：即无界数列的极限不存在.无界数列必发散.例13,2,,8,4,2:}2{nn,8,0,4,0:}))1(1({nn无极限发散无界,,无极限发散无界,,发散的数列不一定都无界.例如,{(－1)n}.收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界..)1(:nnx反例:limaxnn有时当,0,,0NnN||axnaxn即axan?,论你认为可能得到什么结由此回想数列的极限3.保号性定理,0),0(0,limNaaaxnn则若).0(0,nnxxNn有时当证,,0,lim则由极限的定义且设aaxnn有时当时取,,0,02NnNa,2||aaxn由绝对值不等式的知识,立即得.20nxaaa0的情形类似可证,由学生自己完成.,)0(0nnxx若保号性定理的推论1：,lim存在且axnn.)0(0aa则这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号由保号性定理