高等数学易错问题总结

关于大学数学遇到的一些疑难问题解析1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x=1)，y=2x+3(x1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。2对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y0的情况下是否相同？答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)*(x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y)求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*x，下方为f(x,y)*y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求FZ(z)=Fx(z)*FY(z)和FZ(z)=1-(1-Fx(z))*(1-FY(z)),再对z求导的麻烦。3为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a处的左极限=F(x)在x=a处的右极限=F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x)在x=a处的右导数=F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限=f(x)在x=a的右极限=f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x)在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)x不等于0,f(x)=0当x=0时，当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在，所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原函数F(x)=x平方*sin(1/x)x不等于0，F(x)=0当x=0时。4对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分？答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数t=y-ax（截距式参数）t=y除x(斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或y与x的函数关系确定y与x的取值范围，从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于t的定积分。从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经常看到的直角坐标，二是极坐标即r与角度（逆时针方向增大）的关系，第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。5关于复合函数连续与可导的问题答：对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在，y=g(u)在u=b{b=f(a)}处连续，则极限符号可以提到括号里面去，如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处不可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导。比如内函数为u=f(x)=x+（x的绝对值），外函数为y=g(u)=u+（u的绝对值），虽然u=f(x)在x=0处不可导，y=g(u)在u=0处不可导,但是y=g(f(x))在x=0处可导。6可积一定有界，但反过来不一定成立，举个反例答：狄利克雷函数，因为此函数当x趋于有理数时极限等于1，趋于无理数时极限等于0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数，所以该函数有无穷多个第一类间断点，与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。7如果一个函数在一个点x0处可导，能不能推出它在x0的某一领域内可导?答：不能，反例，f(x)=x平方，当x为无理数。f(x)=0，当x为有理数，先考察在x=0处的可导性。当函数从无理数趋于0时，导数为x平方除x，为x。又x=0，所以导数为0。当函数从有理数趋于0时，导数为0除x，为0。所以函数在0处可导。当x不为0处（设为x0处）的导数，分两种情况，一是在有理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为x平方除x，为x，当函数从有理数趋于x0时，导数为0除x，为0，不相等所以不可导。二是在无理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为0除x，为0，当函数从有理数趋于x0时，导数为负x平方除x，为负x，不相等所以不可导。8如何求两条异面直线的公垂线？答：思路一：根据给出的两条空间直线L1与L2的方程（可以是一般方程或是对称方程），求出它们的方向向量S1={m1,n1,p1},S2={m2,n2,p2}.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={m3,n3,p3}，然后取包含S3的第一个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L1上一已知点{a1,b1,c1},做向量S4={x-a1,y-b1,z-c1},根据S4,S1,S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。同理取包含S3第二个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L2上一已知点{a2,b2,c2},做向量S5={x-a2,y-b2,z-c2},根据S5,S2,S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。联立这两个平面的一般方程，就得到了公垂线的一般方程。思路二：设两个参数t与m,t为起始点的参数，m为步长参数，把L1先化为对称式方程，并设它等于t，然后写出x=x(t)，y=y(t),z=z(t)，再在L1上取一起始点A{x(t),y(t),z(t)}然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={a,b,c}，(a,b,c是三个具体的数)沿此向量取一步长m，,则A点沿公垂线平移的向量改变量为S={am,bm,cm},则终点为B{x(t)-am,y(t)-bm,z(t)-cm},把它带入到L2的方程里去，便可求出参数t与m的值，这样便可求出公垂线的方程。9注意第一类广义积分与上限或下限为0的第二类广义积分审敛法的区别分析：前者是无穷限积分，把函数与x分之一的p次方做比较，当p1时，由审敛公式极限等于0或常数时，积分收敛。当p=1时,由审敛公式极限等于常数或无穷大时，积分发散。后者是在x=a处的被积函数为无界的积分，把函数与(x-a)分之一的p次方做比较，当p1时,由审敛公式极限等于常数或0时，积分收敛。当p=1时，由审敛公式极限等于无穷大或常数时，积分发散。需要注意的是此时a=0，(x-a)分之一的p次方变成了x分之一的p次方，所以此处很容易出错，最重要的是要看一下被积函数在x=0处是否有界，有界属于前者，无界属于后者。审敛时p的取值范围正好相反。10证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序，且变换次数与这个n阶排列具有相同的奇偶性。证明：根据数学归纳法，设一个排列为k阶排列，先证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。当k=1时，结论显然成立。假设当k=n-1时结论也成立，即j1j2到Jn-1可以变成123到n-1。则对于k=n，当jn=n时，结论显然成立。当jn不等于n时，则第一步先把jk(k为1到n-1的任意一个整数)它的值为n,与jn做对换，接下来的对换方法如同jn=n时，因为一个n阶排列可变为自然排列，所以自然排列也可以变为这个n阶排列，且变换次数相同，又因为自然排列是偶排列。且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列，经过偶数次对换变成偶排列，所以命题得证。11隐函数求导的三大法则一等式两边对x求导二利用隐函数求导公式三等式两边取全微分12关于二重积分的保向性的理解分析：因为积分区间相同，被积函数有大小比较关系，所以把两个积分相减，得到的式子大于零，就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体，它在xoy面上方大于零，在xoy面下方小于零。保向性在定积分与三重积分也成立。对于不等式两边同时取极限也成立。13如果lim(n趋于无穷大)Xn*Yn=0,能不能说lim(n趋于无穷大)Xn=0,或lim(n趋于无穷大)Yn=0？答：不能，设数列{Xn}为0,1,0,2，0,3,0,4一直下去，其通项为1加上1的n次方的和除以二再乘以n。设数列{Yn}为1，0,2,0,3,0,4,0一直下去，其通项为1加上1的n-1次方的和除以二再乘以n。这就是一个反例。因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。14关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变，但收敛域的变化有什么规律?答：设幂级数逐项求导的收敛域为I1,原幂级数收敛域为I2，幂级数逐项积分的收敛域为I3，则I1I2I3,即幂级数逐项求导在端点（此处端点可分单侧和双侧两种，各针对这两种情况）处收敛，则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛，幂级数逐项积分在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。幂级数逐项积分在端点处收敛，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散，幂级数逐项求导在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。15“泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗?答：不是，前者是要满足三个条件的后者，一是级数在展开点x0的某个领域内的任意一点的和的函数值S(x)必须等于这个函数f(x)在该点处的函数值，二是余项的极限要为零，三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。16注意divrotgrad的对象与结果分析：div是指散度，是把一个场A的分量PQR分别对x,y,z求偏导，然后把三个结果相加。应用主要是高斯公式，即先对空间一个场A，求出divA对它在作用区域（注意该区域一定是体积封闭的）内的三重积分等于一个曲面微元点乘该点处的单位法向量，即把该点处的曲面微元向量化，变为(dydz,dxdz,dxdy),然后把场A的向量（PQR）与(dydz,dxdz,dxdy)做点乘所得的结果再做第二类曲面积分,结果表示通量，是一个数。Div的对象是一个三维向量，divA的结果是一个三元函数，代入具体某一点时表一个数。Rot表示旋度，对象是一个三维向量，把场A的向量（PQR），rotA为向量（R对y求偏导-Q对z求偏导，P对z求偏导-R对x求偏导,Q对x求偏导-P对y求偏导）,结果是一个三维向量。应用主要是斯托克斯公式，即对于一个曲面（不封闭），用rotA点乘(dydz,dxdz,dxdy)再在这个曲面上取第二类曲面积分等于向量（PQR）绕底部空间曲线（一定是封闭的）的曲线积分，注意曲线的绕向与所取曲面的侧的法向量必须满足右手定则，如不满足，在结果前加一个负号，结果是一个数，表示环流量。要注意用高斯公式和斯托克斯公式，前者在封闭曲面，后者在封闭曲面内向量（PQR）必须有连续一阶偏导数，即PQR在积分区域内连续，且处处可偏导，无奇点。有奇点对于高斯公式要画一个包括奇点的单位球，要求曲面外侧，则结果为球面内侧通量，要求曲面内侧，则结果为球面外侧通量。注意球面外侧通量与球面内侧通量互为相反数。同理高斯公式对于二维的就是格林公式，逆时针封闭曲线积分与顺时针封闭曲线积分互为相反数。Grad表示梯度，对象为二元函数或三元函数。f(x,y)分别对x,y求偏导，f(x,y，z)分别对x,y,z求偏导。Grad的结果是一个三维向量。主要用于