高等数学讲义 第四章 微分中值定理与导数的应用

第四章中值定理§1.罗尔定理、拉格朗日定理与柯西定理0)()()(lim0xcfxcfcfx证明：0)()()(cfcfcf1.罗尔定理0)()()(],[)()(cfcxfcbaxf则点可导，在，如果或最小值处取得最大值上有定义，且在内点在设费马引理引理0)()()(lim0xcfxcfcfx0)(),()()(),(],[)()(.1fbabfafbabaxfRolle，使得内至少存在一点则在，内可导，且上连续，在在设定理罗尔定理罗尔定理的几何意义，如下图x0yab注意：定理中的条件是充分条件。..0abxy。y0x.1012yxxabafbfxfxF)()()()(证明：作辅助函数2.拉格朗日定理。，使得内至少存在一点上可导，则在上连续，在在设定理拉格朗日定理abafbffbababaxfLagrange)()()(),(),(],[)()(.2xy01。.定理证明中，也可作辅助函数)()()()()()(axabafbfafxfxF证毕。即使得由罗尔定理，知abafbffFba)()()(0)(),(易验证F(x)满足罗尔定理的条件abyx0当f(a)=f(b)时，拉格日定理即为罗尔定理。通常称罗尔定理为拉格朗日定理的特例。拉格朗日定理的几何意义，如下图公式。上式又可称为有限增量或拉格朗日定理又可写成xxxfyababafafbf)()10(,))](([)()(上单调增加。在。证明函数例),(arctan)(1xxfabbaeab时，证明：当例.2推论：若函数f(x)在[a,b]上导数处处为零，则f(x)常数3.柯西定理)()()()()()()(),(0)(),(],[)()()(.3bagfagbgafbfbaxgbabaxgxfCauchy，使得内至少存在一点则在，上可导，且上连续，在均在、设定理柯西定理)]()([)()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF证明：作辅助函数易验证，F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件。证毕。即使得因此，0)()()()()()(,0)(),(gagbgafbffFba如果取g(x)=x，则柯西定理即为拉格朗日定理，通常称柯西定理为拉格朗日定理的推广。运用中值定理，证明题目的关键是如何作辅助函数。拉格朗日定理又称为拉格朗日中值定理。)()()()()(10],[)(.4ffbfafbaababbaxf　　　　　证明：，上连续，且在设函数例只有一个实根。证明方程例01.53xx)()()()(,,,,,,)(.3ffabaafbbfbababaxf使得证明：内可导在上连续在设例1])([)(),0(,)2()()1,21()1(,1)21(,0)1()0(,1,0,1,0)(.6ffffffxf使得存在对任意实数使得存在证明：且内可导在上连续在设函数例§2.罗必塔法则”型的定值法不定型“00.1)()(lim)()(lim)()(lim)30)(,)(),()20)(lim,0)(lim)1)()(100000000xgxfxgxfxgxfxgxgxfxxgxfxxxgxfxxxxxxxxxx则存在（或为无穷大）且存在的某个邻域内在点内有定义，如果可除外）的某个邻域（在点和。设定理型注意：00)1不存在。并不能说明，不存在且不为无穷大时当)()(lim)()(lim)200xgxfxgxfxxxx罗必塔法则仍是不定型时，可再用当)()()3xgxfxxxxtan1sinlim20例如：30sinlim.1xxxx求例xxxeexxxsin2lim.20求例xexxeexxxx423cos0tan)1)(1ln()1(lim.33求例22)2()ln(sinlim.4xxx求例30cossinlim.5xxxxx求例)()()(lim)30)()()()20)(lim,0)(lim)1)()(.2或为无穷大存在均存在，且、时，在时有定义，且满足在、设函数定理xgxfxgxgxfMxxgxfMxxgxfxxx)()(lim)()(limxgxfxgxfxx则xxx1arctan2lim.6求例值法及其它一些不定型的定不定型.2罗必塔法则也有相应的时，对于不定型或当0xxx)1ln(2tanlnlim.71xxx求例)(lnlim.8为正整数求例nxxnx)0,1,(lim.9anaxxnx为正整数求例xxxkxaaxkkxxln,ln,),1(),1(,.ln,ln,),1),1(,!,(nnnknaannkknn的速度快慢依次为时，趋于当x快慢依次为的速度时，趋于对于数列，当nxxxxxsincoslim.10求例000,,1,,000型外，还有下列几种不定、除了不定型其极限。然后由罗必塔法则计算、均可化为不定型这些不定型00xxxln)arctan2(lim.11求例xxx0lim.13求例)111(lim.120xxex求例xxx)1(lnlim.140求例)1(lnlim.15nnnnn求例xexxx10)1(lim.16求例连续。使确定常数例0,0,1)(.1811xkxexxfkxx)1ln(lnlim.171xxx求例§3.泰勒中值定理及其应用1.泰勒中值定理泰勒中值定理：设函数f(x)在点x0的某个邻域内具有(n+1)阶导数，并且x是该邻域内异于x0的点，那末在点x与x0之间至少存在一点使得10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf上式即称为n阶泰勒公式称为拉格朗日余项。其中10)1()()!1()(nnnxxnfR称为皮亚诺余项。如果))((0nnxxRnnnRxnfxfxffxfx!)0(!2)0()0()0()(0)(20时，当上式又称为麦克劳林公式)10()()!1()(1)1(nnnnxRxnxfRn或由微分定义知：)())(()()(0000xxxxxfxfxf作辅助函数])())(()([)()(21txktxtftfxft呢？具体可表示成什么形式那么)(0xx0)(,0)(0xx则201000)())(()()(xxkxxxfxfxf设!2)(01fkx上式即为一阶泰勒公式之间。、介于其中故020000)(!2)())(()()(xxxxfxxxfxfxf0)(0使得之间，、介于由罗尔定理知，存在xx0)](2)())(()([1xkfxff即：由拉格朗日定理知：之间。、介于000,))(()()(xxxxfxfxf因此拉格朗日定理又可称为零阶泰勒公式。302200000)()(!2)())(()()(xxkxxxfxxxfxfxf又设!3)(:2fk同理可得30200000)(!3)()(!2)())(()()(xxfxxxfxxxfxfxf2.一些简单函数的n阶泰勒公式上式即为二阶泰勒公式阶麦克劳林公式的写出例nexfx)(.1阶麦克劳林公式的写出例nxxf2sin)(.2阶泰勒公式处的在写出例nxxxf1ln)(.303.泰勒公式的应用1)近似计算nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(!2)())(()()(00)(2000002)求极限的值。试求：且的邻域内二阶可导，在点设例)0(),0(),0(21)(sinlim0)(.530fffxxxfxxxfx4202coslim.4xexxx求例2)(:1)(1)(,2,0)(.7xfxfxfxxf证明且满足时当设例3)函数值估计2)()()2()(],[0)(],[)(.621212121xfxfxxfxxxxbaxfbaxf恒有、内任意两点证明：对于上满足在设函数例3)(,)1,1(:,0)0(,1)1(,0)1(,1,1)(.8ffffxf使证明且上具有三阶连续导数在设例§4.函数的单调性的判别法和极值1.函数单调性的判别法如果函数可导的话，导数与函数的增减有很大的关系。上严格单调减少。在时，函数当上严格单调增加；在时，函数则当内可导，在。设函数定理],[)(0)(],[)(0)(],[)(1baxfxfbaxfxfbaxfy定理1的条件结论可改写成：。且只在个别点上等于零或上在的充要条件是：或严格单调减少上严格单调增加在内可导，函数在设函数)0(0)(],[)(],[)(],[)(xfbabaxfbaxfy)15()1)(1()(2xxxxf解：1,51,10)(xxxxf得列表讨论一般来说，用导数为零的点来划分单调区间，有时，导数不存在的点也可用来划分单调区间。“”表示单调增加，“”表示单调减少。)(xf51)51,1()1,51(),1()1,(x11)(xf000的单调区间。确定函数例32)1()1()(.1xxxf的单调区间。确定函数例xxxf32)(.2的单调区间。确定函数例xexxf1)6()(.3定理1还常用来证明一些不等式xxxx2tansin20.4时，证明：当例1sin220.5xxx时，证明：当例21cossin0.6xxxxx时，证明：当例2.函数的极值及其求法极小值,极大值统称极值，极小点,极大点统称极值点。注意：极小值、极大值与最小值、最大值的差异。为极大值点。为函数的极大值，则称时，当如果为极小值点。为函数的极小值，则称时，当如果的某个邻域内有定义在点定义：设函数000000000)()()(0)2()()()(0)1()(xxfxfxfxxxxfxfxfxxxxf对可导函数来说，极值点必为驻点，而驻点不一定是极值点。什么条件下驻点必为极值点呢？。即处的导数为零，在点处取得极值，那么点处可导，且在在点设函数必要条件定理0)()()()(.20000xfxxfxxxf的驻点。的点，称为函数)(0)(xfxf不是极值。则不变号，时，从左至右经过如当为极小值点。为极小值，则由负变正，时，从左至右经过如当为极大值点。为极大值，则由正变负，时，从左至右经过如当的某个邻域内可导，且在点设函数第一充分条件定理)()()3()()()2()()()1(0)()()(.30000000000xfxfxxxxfxfxxxxfxfxxxfxxf是否为极值。不能确定时，当处取得极小值。在函数时，当处取得极大值。在函数时，当且导数，的某个邻域内具有二阶在点设函数第二充分条件定理)(0)()3()(0)()2()(0)()1(0)()()(.400000000xfxfxxfxfxxfxfxfxxf的极值。求函数例32)1()(.7xxxf的极值。求函数例xxxf32)(.83.最大值