2011高考二轮复习文科数学配套课件-专题九 第1讲 找准高考易失分点 2三角函数、平面向量及解

三角函数、平面向量及解三角形失分点11图象变换方向或变换量把握不准致误例1已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋π3)－3sin2x＋sinx·cosx＋2(x∈R)，该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？错解f(x)＝2cosx(12sinx＋32cosx)－3sin2x＋sinxcosx＋2＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋2＝sin2x＋3cos2x＋2＝2sin(2x＋π3)＋2.①保持y＝sinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y＝sin2x的图象；②由y＝sin2x的图象向右平移π3个单位得y＝sin(2x＋π3)的图象；③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标为原来的2倍，得y＝2sin(2x＋π3)的图象；④将所得图象向上平移2个单位得y＝sin(2x＋π3)＋2的图象．找准失分点第②步中，平移方向和平移量均错．失分原因与防范措施平移方向出错，由f(x)→f(x±a)(a0)是左加右减，即x＋a是f(x)向左平移a个单位，x－a是f(x)向右平移a个单位．平移量出错，平移对象是x，而不是2x.我们所说的平移多少是对x说的，即“对x说话”．解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩．在平移时，如x有系数ω，则先写成ω(x＋φ)的形式．正解f(x)＝2cosx(12sinx＋32cosx)－3sin2x＋sinxcosx＋2＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋2＝sin2x＋3cos2x＋2＝2sin(2x＋π3)＋2.①由y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度得到y＝sin(x＋π3)的图象；②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得y＝sin(2x＋π3)的图象；③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得y＝2sin(2x＋π3)的图象；④最后将所得图象向上平移2个单位长度得y＝2sin(2x＋π3)＋2的图象．变式训练1为了得到函数y＝sin(2x－π6)的图象，可以将函数y＝cos2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度解析∵y＝sin(2x－π6)＝cos[π2－(2x－π6)]＝cos(2π3－2x)＝cos(2x－2π3)＝cos2(x－π3)，∴将函数y＝cos2x的图象向右平移π3个单位长度．B失分点12忽视角的范围致误例2已知α、β∈(0，π)且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．错解∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ1－tan(α－β)·tanβ＝12－171＋12×17＝13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β)1－tanα·tan(α－β)＝13＋121－13×12＝1.∵α、β∈(0，π)，∴－π2α－β2π，∴2α－β＝π4或5π4或－3π4.找准失分点2α－β的范围错误．失分原因与防范措施本题错误的原因是：忽略了tanα=，tanβ=-对角的范围的限制，致使2α-β的范围扩大了，从而产生增根.在解决此类问题时，可以根据函数值的正、负判断角所在的象限，求函数的定义域或角的范围时，也可以根据三角函数值缩小角的范围.3171正解∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ1－tan(α－β)·tanβ＝12－171＋12×17＝13.∵tanα＝130,0απ，∴0απ2，∵tanβ＝－170,0βπ，∴π2βπ，∴－πα－β0.而tan(α－β)＝120，∴－πα－β－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β)1－tanα·tan(α－β)＝13＋121－13×12＝1.∴2α－β＝－3π4.变式训练2已知α、β∈(0，π2)，cosα＝55，且cosβ＝1010，求α＋β.解方法一∵α、β∈(0，π2)且cosα＝55，cosβ＝1010，∴sinα＝255，sinβ＝31010，∴sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋sinβ·cosα＝255×1010＋31010×55＝22.又cosα＝5522，cosβ＝101022，∴π4απ2，π4βπ2，∴π2α＋βπ，∴α＋β＝3π4.方法二∵α、β∈(0，π2)且cosα＝55，cosβ＝1010，∴sinα＝255，sinβ＝31010，∴cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝－22.∵0α＋βπ，∴α＋β＝3π4.失分点13解三角形时，忽视讨论而致误例3在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝3.(1)若C＝π3，求A；(2)若A＝π6，求b.错解(1)在△ABC中，asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝12，∴A＝π6或5π6.(2)由asinA＝csinC得sinC＝csinAa＝32，∴C＝π3，由C＝π3知B＝π2，∴b＝a2＋c2＝2.找准失分点第(1)问产生了增解5π6.第(2)问失了一个解b＝1.失分原因与防范措施在第（1）问中，没有注意到ac这个条件，是出错的根本原因.由于ac，必有AC，所以A一定是锐角.在第（2）问中，由于CA，所以C可以是锐角，也可以是钝角.在解决此类问题时应注意两点：①三角形内角和为π.②比较两边的大小关系.正解(1)由正弦定理得asinA＝csinC，即sinA＝asinCc＝12.又ac，∴AC，∴0Aπ3，∴A＝π6.(2)由asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝3·sinπ61＝32，∴C＝π3或2π3.当C＝π3时，B＝π2，∴b＝2；当C＝2π3时，B＝π6，∴b＝1.综上所述，b＝2或b＝1.变式训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和cb＝12＋3，求∠A和tanB的值．解由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴∠A＝π3.由b2＋c2－bc＝a2，得(ab)2＝1＋(cb)2－cb＝1＋14＋3＋3－12－3＝154，∴ab＝152.由正弦定理，得sinB＝basinA＝215×32＝15，由ab＝152，可知ab，故∠B∠A，因此∠B为锐角．故cosB＝1－sin2B＝25，从而tanB＝sinBcosB＝12.失分点14忽视两向量的夹角为钝角(锐角)的充要条件致误例4设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3.若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．错解∵2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，∴2t2＋15t＋70，解之得：－7t－12，∴t的范围为(－7，－12)．找准失分点2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角⇔(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0.失分原因与防范措施本题错误的关键是没有把握准向量夹角与向量数量积的等价关系.一般地，向量a，b为非零向量，a与b的夹角为θ,则①θ为锐角a·b0且a,b不同向；②θ为直角a·b=0；③θ为钝角a·b0且a·b不反向.正解∵2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ0)．∵(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0得2t2＋15t＋70，∴－7t－12.若2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ0)，∴(2t－λ)e1＋(7－tλ)e2＝0.∴2t－λ＝07－tλ＝0，即t＝－142，∴t的取值范围为：－7t－12且t≠－142.变式训练4已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，求使a＋kb与ka＋b的夹角为锐角的实数k的取值范围．解(a＋kb)·(ka＋b)＝ka2＋(k2＋1)a·b＋kb2＝k＋(k2＋1)·2·cos120°＋4k＝－k2＋5k－1.由－k2＋5k－10，得5－212k5＋212.当a＋kb与ka＋b同向时，设a＋kb＝λ(ka＋b)(λ0)，可得λk＝1，k＝λ，解得k＝λ＝1.因此实数k的取值范围是5－212k5＋212且k≠1.返回