高等数学一元函数积分学

第三章一元函数积分学(20%）一、不定积分二、定积分三、定积分的应用•本讲出题在10分—18分之间，考点不多，一般在选择题、填空题、计算题中出现，不定积分是定积分的基础，定积分又是二重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大，希望同学们多练习。•本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。（3）凑微分技巧。•本讲难点：综合利用积分方法求不定积分。考试点津：•1．原函数的概念；•2．不定积分的两个性质及一个推论；•3．分项积分法；•4．换元积分法；又可细分为凑微分法（重点）与变量代换法（主要是去根号）；•5．分部积分法。•有理函数积分、三角函数积分基本不考。即便考，用前面的方法也可解决。本章重点考核的知识点第一节不定积分（一）、不定积分的概念与性质（二）、不定积分的基本公式第三章一元函数积分学2011年考了16分（三）、换元积分法（四）、分部积分法（一）不定积分的概念与性质1.原函数设是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数，使对于该区间任意，都有关系式：或成立，则称函数为函数在该区间上的一个原函数。)(xFx)()(xfxFdxxfxdF)()()(xF例),,(,cossinxxx。上的一个在是原函数),(cossinIxx455)(xx又因为：455)1(xx455)3(xx455)(xcx所以显然，，，都是的一个原函数。5x15x35xcx545x★由此不难得出：（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。（3）若为的一个原函数，则表示的所有原函数。CxF)()(xF任意常数积分符号被积函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量记为dxxf)(.称为在该区间I上的不定积分。即：设是在区间I上的一个原函数，则函数的全体原函数（c为任意常数）)(xFCxF)(2.不定积分（一）不定积分的概念与性质)(xf)(xF)(xFy)(xf设函数在某区间上的一个原函数为，则在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而的全部积分曲线)(xf)(xF.)(cxFy所组成的积分曲线族。其方程为cxFy)(yo的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是轴向上)(xFy设函数在某区间上的一个原函数为，则在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而)(xf)(xF.)(cxFy所组成的积分曲线族。其方程为cxFy)(yo的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是轴向上)(xFy设函数在某区间上的一个原函数为，则在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而)(xf)(xF如下图所示：（一）不定积分的概念与性质3.不定积分的几何意义xyx0cxFy)()(xf斜率)(xFy（一）不定积分的概念与性质4.原函数存在定理在定义区间上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。（k是常数，)0k定理1微分运算与积分运算互为逆运算，即dxxfdxxfdxfdxxf)(])([)(])([)(或1cxFxdFcxFdxxF)()()()()(或2dxxfkdxxkf)()(定理2定理3dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([niiniidxxfdxxf11)()(推论（一）不定积分的概念与性质5.不定积分的性质基本积分表kCkxkdx()1(是常数);dxx)(2dxx211)4(Cxarctandxx211)5(Cxarcsinxdxcos)6(;sinCx;cotarcCx;arccosCxxdxsin)7(;cosCxxdx)3(;||lnCx);(111Cx（二）不定积分的基本积分公式xdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdx2sec)8(;tanCxxdx2csc)9(;cotCx基本积分表（二）不定积分的基本积分公式注意：以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础，必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分．解：原式=3312321111d3122xxdxxCxCCxx例：求31dxx22Cx212Cx212Cx22CxA.BC.D.11d(1)1xxxC提示公式：故选B解：原式=21darctan1xxCx例：求21d1xx提示公式：21darctan1xxCx解：原式=111d11111111(1)11ln1xxxdxdxxxxdxdxdxdxxxxxC例：计算d1xxx提示公式：1dln||xxCx（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）１.第一换元法（凑微分法）第一换元法是求复合函数的不定积分的基本方法．分析：把复合函数的微分法反过来，用与求不定积分，利用中间变量的替换，得到复合函数的积分法。设()fu的原函数是()Fu，即()()Fufu()()fuduFuC又(),ux且()x可微，有()()()Fxfxx()()()d()()duxfxxxFxCfuu定理1：设()fu有原函数(),Fu()ux可导，则()()()d()()duxfxxxFxCfuu例：计算d1xxexe解：原式=111()dd()d(1)111xxxxxxexeeeee11dulnln1xxueuCeCu2008年解答、8分例1：求2cos2dxx解：原式=2222ed()edeexuuxxuxuCC例3：求22edxxx解：原式=111d(32)ln(32)2322xxCx一般地：对于积分()d,faxbx总可作变换uaxb11()d()()d()duaxbfaxbxfaxbaxbxfuuaa例2：求1d32xx解：原式=cos2(2)dcos2d(2)sin2xxxxxxC2．第二换元法第一类换元法是将积分()()dfxxx代为积分()d,fuu我们常常遇到相反的情形，适当地选择变量代换()xt，从而将积分()dfxx化为积分()()dfttt公式：()d()()dfxxfttt叫做第二换元积分法．解：设sinxat()22t原式=22coscosdcosdatattatt=22sincos22aatttC由sinxat，得arcsinxta例4：求22daxx0a222cos1sinaxtta原式=2221arcsin22axxaxCa解：设tanxat22t原式=2secdsecdln(sectan)secattttttCat由tan,xat得22tan,secxxattaa所以原式=22lnxaxCaa例5：求22dxxa(0)a（四）分部积分法分析：()uvuvuvuvuvuvd()dduvxuvxuvxdduvuvvu分部积分公式：dduvuvvu解：设,dcosdd(sin),sinuxvxxxvx原式=d(sin)sinsindxxxxxx=sincosxxxC但若令21cos,ddd()2uxvxxx原式=222111cosd()cosd(cos)222xxxxxx例7：求cosdxxx由此可见，如果u和dv选取不当，就求不出结果.考虑：①v容易求②duv要比dvu容易积解：设ln,dduxvxx原式=2221111lnd()lnd222xxxxxxx=2221111lndln2224xxxxxxxC例9：求lndxxx解：设,dede,exxxuxvxdv原式=d(e)eedeexxxxxxxxxC例8：求edxxx15．若xcos是)(xf的一个原函数，则)(dxfA．sinxCB．sinxCC．cosxCD．cosxC解：因cosxfx，故cossinfxxx，sincossindfxdxxdxxC所以应选A。35．(ln1)dxx________．解析：(ln1)dln1ln11ln1lnxxxxxdxxxxdxxxcx2010年解答、8分内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质第二节定积分（一）基本概念与基本性质（二）牛顿-莱布尼兹公式第三章一元函数积分学（三）定积分的换元积分法和分部积分法（四）无穷区间上的反常积分abxyo?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.)(xfy（一）基本概念与基本性质1、定积分的定义abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，abxyoiix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx],[1iixf)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxb,xxxxxab][a,n1n210L个分点，内插入若干在区间1.分割2.近似iAiniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10,当分割无限加细曲边梯形面积为时，趋近于零即小区间的最大长度)0(},,max{21nxxxL3.求和4.取极限设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxxL，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210L把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(Li，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(Li,并作和iinixfS)(1，定义不论怎样的分法，()dbafxxIiinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，()dbafxx()dbaftt()dbafuu（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.若函数)(xf在区间],[ba上连续，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，则)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在2.定积分