点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系●知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理2：不共线．．．的三点确定一个平面.推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：0,90；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////abaab③性质定理：////aaabb2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：0,903.面面平行：①定义：//；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：,,,//,////ababOab判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//aa.③面面平行的性质：（1）////aa；（2）////aabb（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意,a都有la，且l，则l.②判定：,ababOlllalb③性质：（1）,lala；（2）,//abab；3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OBlOAlAOBl是二面角－的平面角范围：[0,180]AOB②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.3.3面面垂直（1）定义：若二面角l的平面角为90，则；（2）判定定理：aa（3）性质：①若，二面角的一个平面角为MON，则90MON；②aABaaaAB●热点例析【例1】热点一有关线面位置关系的组合判断若a，b是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，则()．A．l与a，b分别相交B．l与a，b都不相交C．l至多与a，b中一条相交D．l至少与a，b中的一条相交解析：假设l与a，b均不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b与a，b是异面直线矛盾，故l至少与a，b中的一条相交．选D.热点二线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD．(1)方法一：因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2.所以AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.方法二：因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD(如图)，所以BD⊥D1D.取AB的中点G，连接DG(如图)．在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形，因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.(2)如图，连接AC，A1C1.设AC∩BD＝E，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝12AC.由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形．因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.热点三面面平行与垂直的证明【例3】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝4，P为平面ABCD外一点，且PA＝PB，PD＝PC，N为CD的中点．(1)求证：平面PCD⊥平面ABCD；(2)在线段PC上是否存在一点E使得NE∥平面ABP？若存在，说明理由并确定E点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：取AB中点M，连接PM，PN，MN，则PM⊥AB，PN⊥CD.又ABCD为直角梯形，AB⊥BC，∴MN⊥AB.∵PM∩MN＝M，∴AB⊥平面PMN.又PN⊂平面PMN，∴AB⊥PN.∵AB与CD相交，∴PN⊥平面ABCD.又PN⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD.(2)解：假设存在．在PC，PB上分别取点E，F，使BF＝14BP，CE＝14CP，连接EF，MF，NE，则EF∥BC且可求得EF＝34BC＝3.∵MN＝3且MN∥BC，∴EF∥MN且EF＝MN.∴四边形MNEF为平行四边形，∴EN∥FM.又∵FM⊂平面PAB，∴在线段PC上存在一点E使得NE∥平面ABP，此时CE＝14PC.热点四折叠问题例4如图所示，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=221AP，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD．（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；(Ⅱ)求二面角DEFG的大小．解:(Ⅰ)证明:连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//CD21,同理GO//12CD,EF//GO四边形EFOG是平行四边形,EO平面EFOG．又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EOEO平面EFOG,PA平面EFOG,PA//平面EFOG,即PA//平面EFG．方法二)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//CD21,同理GE//12PB又CD//AB,EF//AB21ADPCBGEFPDABGCEFCAPGEFBDO,,BABPBEEFEG平面EFG//平面PAB,又PA平面PAB,//PA平面EFG．方法三)如图以D为原点,以DPDCDA,,为方向向量建立空间直角坐标系xyzD．则有关点及向量的坐标为:0,0,2,0,2,0,1,2,0,0,1,1,0,0,1,2,00.PCGEFA1,1,1,0,1,0,2,0,2EGEFAP设平面EFG的法向量为zyxn,,.00000yzxzyxyEGnEFn取1,0,1n．∵APnAPn,0210021,又AP平面EFG．AP//平面EFG．(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形DCAD,又∵PD面ABCDPDAD又DCDPDAD平面PCD,向量DA是平面PCD的一个法向量,DA=0,0,2又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为1,0,1n.22222,cosnDAnDAnDA结合图知二面角DEFG的平面角为.450●热点五线线角线面角面面角例5正四棱锥ABCDP中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为26。（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面PAD上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。（1）连BDAC,交于点O，连PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=26。设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO=23。设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角。在RtPFO中，3tanFOPOPFO，∴3PFO。即面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为3（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，EO//PD21。∴EOD就是异面直线PD与AE所成的角。在RtPDO中，2522POODPD。∴45EO。由BDAO，POAO可知：AO面PBD。所以，EOAO。在RtAOE中，5102tanEOAOAEO。∴异面直线PD与AE所成的角的正切是5102。（3）延长FO交BC于点G，连接PG。设H为PG中点，连接GHEH,。∵四棱锥ABCDP为正四棱锥且F为AD中点，所以，G为BC中点，∴PGBC，FGBC。∴PFGBC面。∴面PBC⊥PFG面。∵PGPF，3PFO，∴PFG为正三角形。∴PGFH，∴PBCFH面。取AF中点为K，连EK，则由FKHE//及FKHE得四边形HEKF为平行四边形，所以，FHKE//。∴PBCKE面。●学生练习一、选择题1．设,mn是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m，n//，则nm②若//，//，m，则mABCDOPEFGHK③若m//，n//，则mn//④若，，则//其中正确命题的序号是()A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④2．若长方体的三个面的对角线长分别是,,abc，则长方体体对角线长为（）A．222abcB．22212abcC．22222abcD．22232abc3．在三棱锥ABCD中,AC底面0,,,,30BCDBDDCBDDCACaABC,则点C到平面ABD的距离是()A．55aB．155aC．35aD．153a4．在正方体1111ABCDABCD中，若E是11AC的中点，则直线CE垂直于（）A．ACB．BDC．1ADD．11AD5．三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心6．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为（）A．12B．13C．33D．237．四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，,EF分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于（）A．090B．060C．045D．030二、填空题1．点,AB到平面的距离分别为4cm和6cm，则线段AB的中点M到平面的距离为_________________．2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。3．一条直线和一个平面所成的角为060，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_____。5．在正三棱锥PABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，4,8ABPA,过A作与,PBPC分别交于D和E的截面，则截面ADE的周长的最小值是________三、解答题1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC