微积分与极限思想

微积分与极限思想微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，其中充满了深刻的辨证法。借助极限思想，人们可以从直线认识曲线，从静止认识运动，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变。极限思想是人类认识水平进步的产物。认识论不外乎可知论和不可知论。可知论和不可知论的矛盾，就是主体理性的有限性和存在的无限性的矛盾，而解决这一矛盾的正是微积分理论的创始人：牛顿和莱布尼茨，是他们给人类带来了有史以来最伟大的思想——极限思想，让我们明白无穷逼近而又永远无法达到，不仅是可能的而且是现实的。“无穷逼近”是可知论的思想，“永远达不到”是不可知论的思想。把极限引入哲学，主体理性和存在之间的有限与无限的矛盾变成了充分融合的事实。微积分从产生到定型成今天的形式，经历了三个不同的阶段：以神秘的无穷小为基础的牛顿和莱布尼茨阶段；以动态的极限概念为基础的柯西阶段和以静态的量的概念为基础的魏尔斯特拉斯阶段。三个阶段之间既有内在联系，又有认识上的区别，是一个不断发展和运动的历史演变过程。这其中体现了一种唯物辩证法的科学方法论。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。法国数学家费尔马在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中提出了使用无限小量求极值点的方法,几乎相当于微分学中的方法,只是以符号e代替了增量x.微积分刚一形成，就在各个领域得到广泛应用。但是另一方面，微积分的理论基础还很不完善，特别是一些定理和公式的推导，在逻辑上前后矛盾，不好理解，因此受到非难和攻击。这些矛盾集中体现在极限概念上，微积分的基础是极限的理论，而牛顿和莱布尼兹的极限概念都是十分模糊的。牛顿在一些典型的推导过程中这样认为：第一步，他用了无穷小量作分母进行除法；第二步，他又把无穷小量看作零，去掉有关项，从而得到所要的公式。这些公式被证明是正确的，但是推导过程中却显示出逻辑上的自相矛盾。莱布尼兹也存在类似的问题。无穷小量是零还是非零呢？如果说是零，怎么能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎么能把它去掉呢？这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说无穷小量是“逝去的鬼魂”。在整个18世纪，对于微积分运算的研究具有一种“特殊的痛苦”，成为数学史上的第二次危机。数学家不得不认真对待无穷小悖论，借以解除数学的第二次危机．18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确表示必须将极限作为微积分的基本概念，并都对极限作出各自的定义而首先用极限概念给出导数定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f(x)的导数定义为差商xy的极限)(xf，他强调指出)(xf不是两个零的商，但关于极限的本质他还是没能说清楚。直到19世纪上半叶．法国数学家柯西研究了极限定义，详细而又系统地发展了极限理论。，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格化迈出了关键的一步。然而，柯西的理论只能说是“比较严格”，不久人们便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。比如柯西定义极限为：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差可以随意小，那么这个定值就称为所有其它值的极限”，其中“无限趋向于”、“可以随意小”等语言只是极限概念的直觉的、定性的描述，缺乏定量的分析，这种语言在其它概念和结论中也多次出现。另外，微积分计算是在实数领域中进行的，但到19世纪中叶，实数仍没有明确的定义，对实数系仍缺乏充分的理解，而在微积分的计算中，数学家们却依靠了假设：任何无理数都能用有理数来任意逼近。当时，还有一个普遍持有的错误观念就是认为凡是连续函数都是可微的。基于此，柯西时代就不可能真正为微积分奠定牢固的基础。所有这些问题都摆在当时的数学家们面前。为了解决这个问题，德国数学家魏尔斯特拉斯提出了极限的静态定义，即N定义，给微积分提供了更严谨的理论基础，至今仍在数学分析书中使用。另外，魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源，要使分析严格化，就首先要使实数系本身严格化。而实数又可按照严密的推理归结为整数（有理数）。因此，分析的所有概念便可由整数导出。这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。微积分学之所以能够解决初等数学无法解决的问题，正是由于它采用了极限的思想。极限思想贯穿于整个微积分的始终，微积分中的几乎所有的概念都离不开极限。如：连续，导数，定积分的定义，级数的敛散性等。微积分学是一门研究无限的动态学科，而无限的研究结果正是依赖极限思想，通过有限的研究方法得到的。只要真正掌握了极限思想，整个微积分学就容易学习，并能取得较高的理论水平。