高中数学三角形形状的判定

1(微lily2064)高中数学三角形形状的判定判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题：1、基本知识点：（1）等腰三角形a=b或A=B（2）直角三角形222abc或A=90（3）钝角三角形222abc或A90（4）锐角三角形若a为最大边且222abc或A为最大角且A902、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化。逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：（1）统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；（2）统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等；常见的题型有：一、利用三角形三边的代数关系直接判断1、在三角形ABC中，三边a、b、c满足::2:6:(31)abc，试判断三角形的形状。解析：abc则c边最大，且2423c，228ab，222cab，则最大角C为锐角，所以三角形为锐角三角形。二、运用三角函数的关系直接判断2、（05北京）在ABC中已知2sincossin,AAC那么ABC一定是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形三角形D、正三角形解析：(),sinsin()2sincossin(),sincoscossin0sin()0,,CABCABABABABABABABC又是三角形的内角A-B=0,则选B3、在△ABC中，已知sinsinBC＝cos22A，试判断此三角形的类型.解析：∵sinsinBC＝cos22A∴sinsinBC＝2cos1A∴2sinsinBC＝1＋cos[180()]BC将cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC代入上式得cosBcosC+sinBsinC=1∴cos（B－C）＝12又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜∴B－C＝0∴B＝C故此三角形是等腰三角形.评述：(1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cosA＝2cos22A－1的逆用.(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形三、运用向量进行判断4、(06陕西卷)已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A、三边均不相等的三角形B、直角三角形C、等腰非等边三角形D、等边三角形解析：非零向量与满足(||||ABACABAC)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又cosA||||ABACABAC=12，∠A=3，所以△ABC为等边三角形，选D．5、在ABC中，设,,,BCaCAbABc若,abbcca判断ABC的形状。解析：0abc，22,()abcabc，2222ababc同理2222bcbca，两式相减，得22222()acabbcca，abbc，2a=2c，ac，同理ab，abc，故ABC是等边三角形。四、运用正（余）弦定理判断6、在△ABC中，coscosbAaB试判断三角形的形状分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.解法一：利用余弦定理将角化为边.∵coscosbAaB∴b·acbcaabcacb22222222∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2∴a2＝b2∴a＝b故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵coscosbAaB又2sin,2sinbRBaRA3∴2RsinBcosA=2RsinAcosB∴sinAcosB-cosAsinB=0∴sin（A－B）＝0∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜∴A－B＝0即A＝B故此三角形是等腰三角形.评述：(1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosA=sinAcosB端同除以sinsinAB得cotcotAB，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.7、在ABC中，如果lgalgc=lgsinlg2B，且角B为锐角，判断此三角形的形状。解析：由lgalgc=lgsinlg2B，得lgsinlg2B2lg2，2sin2B，又B是锐角，45B，又lgalgclg2，即22lglg,,22aacc由正弦定理，得：sin2sin2AC，2sin2sin,180CAABC，180ACB18045C135C，2sin2sin(135)CC，sinsincos,CCCcos0,90CC故此三角形是等腰直角三角形。巩固练习：在ABC中，若22tan:tan:,ABab试判断ABC的形状。解一：由已知条件及正弦定理可得22sincossincossinsinABAABB，,AB为三角形的内角，sin0,sin0AB，sin2sin2,22ABAB或22AB，AB或2AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形。4解二：由已知条件及正弦定理可得sincossincosAABB22sinsinAB，即cossincossinBAAB，由正弦定理和余弦定理可得22222222acbacbcabc=ab，整理，得4222240aacbcb，即22()ab222()0abc，222220ababc或，222ababc或ABC为等腰三角形或直角三角形。小结：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。本题的两种解法，就是通过两种不同的转化来实现的。求解有关三角形的形状问题时，除了要掌握正、余弦定理并能熟练运用它们外，还应掌握：（1）三角形的内角和定理A+B+C=，大边对大角；（2）sin()sin,sincos22ABCABC等；（3）三角形面积公式111sinsinsin222SabCbcAcaB。