高中数学专题突破(六)高考概率与统计问题的求解策略

菜单新课标·文科数学（安徽专用）统计与统计案例是高考的热点，新课标高考对统计的考查主要体现了以下两个特点：一是覆盖面广，几乎所有的统计考点都有所涉及，说明统计的任何环节都不能遗漏；二是考查力度加大，2012年新课标高考中有关统计的试题量比往年有所增加．菜单新课标·文科数学（安徽专用）某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图1表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)菜单新课标·文科数学（安徽专用）(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50岁以上合计(3)在犯错误的概率不超过1%的前提下，你能否认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)由茎叶图确定甲、乙两类中饮食类型的人数，从而作出判定；(2)运用独立性检验进行分析．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828菜单新课标·文科数学（安徽专用）【规范解答】(1)由茎叶图知，50岁以下的12人中饮食指数低于70的有4人，饮食指数高于70的有8人.50岁以上的18人中，饮食指数低于70的有16人，高于70的只有2人．在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．(2)2×2的列联表如下：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030菜单新课标·文科数学（安徽专用）【反思启迪】1.将茎叶图与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是理解茎叶图提供数据特征．2．本题求解中常见的错误：(1)不理解茎叶图反映的数据信息；(2)对独立性检验思想理解不深刻，作出错误判定．(3)因为K2＝30×（8－128）212×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10＞6.635，又P(k2≥6.635)＝0.010.∴在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为亲属的饮食习惯与年龄有关．菜单新课标·文科数学（安徽专用）某校高三某班的一次数学测验成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图2所示，据此解答如下问题：菜单新课标·文科数学（安徽专用）(1)求分数在[50，60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解】(1)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50，60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)分数在[80，90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(3)将[80，90)之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}共15个．其中，至少有一份在[90，100]之间的基本事件有9个．故至少有一份分数在[90，100]之间的概率是915＝0.6.菜单新课标·文科数学（安徽专用）古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．现有8名世博会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)确定基本事件总数，可用列举法．确定事件所包含的基本事件数，用公式求解．(2)可转化为全被选中的情况求解．【规范解答】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件集合Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，菜单新课标·文科数学（安徽专用）B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝618＝13.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件N由3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.【反思启迪】解决古典概型的关键是：列出所有的基本事件，并且确定构成事件的基本事件．第(2)问既可以转化为求事件和的概率，也可以运用对立事件求解．一般涉及“至多”、“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑求其对立事件的概率，从而简化运算．菜单新课标·文科数学（安徽专用）设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从－4，－3，－2，－1四个数中任取的一个数，b是从1，2，3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解】设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a＜0，b＞0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a＋b≤0.基本事件共12个：(－4，1)，(－4，2)，(－4，3)，(－3，1)，(－3，2)，(－3，3)，(－2，1)，(－2，2)，(－2，3)，(－1，1)，(－1，2)，(－1，3)．菜单新课标·文科数学（安徽专用）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件．事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.菜单新课标·文科数学（安徽专用）高考越来越重视对概率统计的考查，把随机抽样、用样本估计总体等统计知识和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向．概率统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，因此在复习该部分时，要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2013·石家庄模拟)某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5菜单新课标·文科数学（安徽专用）请作出茎叶图，如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，若选派成绩较稳定的同学，选派谁参加比赛更好，并说明理由．(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．【思路点拨】(1)以整数位数字为茎，小数位数字为叶，作出茎叶图，根据数据特征，分析样本数据的稳定性．(2)依题意，转化为几何概型的概率计算．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【规范解答】(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【反思启迪】1.茎叶图能较直观反映样本数据的稳定性，常结合平均数，方差(标准差)命题．2．本题是表格信息题，并要求用统计图进行分析处理，是一道以“能力立意”的优秀试题．菜单新课标·文科数学（安徽专用）汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)．某检测单位对甲、乙两类MI型品牌车各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160经测算发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为x乙＝120g/km.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆CO2排放量超标的概率是多少？(2)若90＜x＜130，试比较甲、乙两类品牌车CO2排放量的稳定性．【解】(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，其CO2排放量共有10种不同的结果：80，110；80，120；80，140；80，150；110，120；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150.设“至少有一辆CO2排放量超标”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：80，140；80，150；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150.菜单新课标·文科数学（安徽专用）∴P(A)＝710＝0.7.(2)由题可知，x甲＝x乙＝120，x＋y＝220.5s2甲＝(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2＝3000，5s2乙＝(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(y－120)2＋(160－120)2＝2000＋(x－120)2＋(y－120)2.∵x＋y＝220，∴5s2乙＝2000＋(x－120)2＋(x－100)2，令x－120＝t，∵90＜x＜130，∴－30＜t＜10，∴5s2乙＝2000＋t2＋(t＋20)2，∴5s2乙－5s2甲＝2t2＋40t－600＝2(t＋30)(t－10)＜0，∴s2乙＜s2甲，∴乙类品牌车CO2排放量的稳定性好．