微积分复习提纲

高等数学复习提纲基本内容：1、函数基本概念及性质。基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。注：分段函数一般不是初等函数。特例：2,0,0xxyxxx为初等函数。2、极限定义：nlimnaa对任给0，存在,N当nN时，有||naa.（等价定义）3、无穷小的定义与性质。1）若函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零,则称f(x)当xx0(或x)时为无穷小量。注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.（2）零是常数中唯一的无穷小量。2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。3）函数极限与无穷小的关系：Axfxxxlim0的充要条件是Axf，其中A为常数，是当xx0(或x)时的无穷小。4、无穷大的定义。若当xx0(或x)时,f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)当xx0(或x)时为无穷大量。注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。5、无穷大与无穷小互为倒数。6、极限的运算法则。00型：1）用0sinlim1xxx。2）因式分解法2339limxxx。3）分子分母有理化法1131limxxx。型：分子分母同除以一个非零因式,如：2232123limxxxxx。7、两个重要极限。1）0sinlim1xxx2）exxx11lim以及exxx1lim10。会用重要极限求函数极限。8、求两个无穷小之比极限时，分子、分母都可用等价无穷小代替。如：xxx3tan2sinlim0、2336limsin35xxxx注：等价无穷小只能在乘积和商中进行，不能在加减运算中代换9、连续的两种定义。函数xf在点x0处连续，必须同时满足三个条件：1)xf在点x0处有定义；2）)(lim0xfxx存在；3）极限值等于函数值，即xfxfxx0)(lim0。例：已知函数1(12sin),0(),0xxxfxax，在0x处连续，则a.10、函数xfy在点x0连续的充分必要条件是：xxxfff00000（既左连续又右连续）。11、函数在点x0处连续与该点处极限的关系：函数在点x0处连续则在该点处必有极限，但函数在点x0处有极限并不一定在该点连续。12、如何求连续函数的极限？连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即)()(0lim0xfxfxx13、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。如：1,211,1122xxxxgxx14、如何求连续区间？基本初等函数在其定义域内是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的。15、间断点的定义。16、间断点的类型。（一）第一类间断点1、可去间断点（1）xf在x0处无定义，但)(lim0xfxx存在。（2）xf在x0处有定义，xf在x0处左右极限存在且相等，但是)()(0lim0xfxfxx。2、跳跃间断点：xf在点x0处左右极限都存在，但不相等，即xfxxxfxxlimlim00。第一类间断点的特点:函数在该点处左右极限都存在.（二）第二类间断点(若xfxxlim0与xfxxlim0中至少有一个不存在，称x0为xf的第二类间断点。)1、无穷间断点。2、振荡间断点。0x是函数1()cosfxx的何种间断点17、导数定义：函数xf在点x0处可导的充要条件是：xf在点x0处的左右导数都存在且相等，即xxff00。18、判断分段点处是否可导：在分段点处应按定义求出左右导数，在分段点处左右导数都存在且相等，则分段点可导。19、连续与可导的关系：若函数xf在点x0可导，则函数xf在点x0连续。20、函数xfy在点0x处的导数xf0在几何上表示曲线xfy在点00,xfxp处的切线的斜率。21、隐函数的求导法。方程两端对x求导，y是x的函数，即把y看成中间变量，利用复合函数求导法则求导。22、参数方程所表示函数,tytx的导数ttdxdy。23、对数求导法：先取对数，然后利用隐函数求导法则求导。如：0,tanxyxx。24、xfxxfy可表示为xoxAy，称函数xfy在点x是可微的。xAdy，叫做函数xfy在点x的微分。注：0A，dy是y的线性主部。25、函数xfy在点x可微的充要条件是函数xf在点x可导，且xxfdy。（dy是y的线性主部）26、近似公式：xf000xxxfxf。此近似公式，用来求0x近旁点x的函数值的近似值。27、中值定理的内容。28、洛必达法则。注：当xgxfxxxlim0不存在时，并不能断定xgxfxxxlim0也不存在，此时应使用其他方法求极限。如：xxxxsin1sin20lim。29、函数单调性判别法：设函数xfy在ba,上连续，在ba,内可导。（1）如果在ba,内0xf，那末函数xfy在ba,上单调增加；（2）如果在ba,内0xf，那末函数xfy在ba,上单调减少。注：讨论单调区间，0xf的根（即驻点）及xf不存在（不可导点）的点作为定义区间的分点。30、求极值步骤：（1）求导数xf；（2）求出xf的全部驻点以及使导数不存在的点（即可能极值点）；（3）由定理2或定理3判断极值点（用定理3判断，00xf的点再用定理2判断）；（4）求出各极值点处的函数值，即得xf的全部极值。31、求最大（小）值的步骤：1、找出xf在ba,内部的一切驻点，求出驻点处的函数值。2、找出xf在ba,内部不可导的点，求出不可导点的函数值。3、求出区间端点处的函数值。4、将所求出的所有函数值进行比较，最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。例：函数2cosyxx在π[0,]2上的最小值为32、原函数与不定积分的关系：全体原函数构成不定积分。即cxFdxxf)()(。积分运算与微分运算有如下互逆关系：1))()(xfdxxf或dxxfdxxfd)()(.2)cxFdxxF)()(或cxFxdF)()(.33、不定积分的换元法和分部积分法。第一类换元法（凑微分法）：xuduufdxxxf)()(。第二类换元法：dxxf)(=dtttf)()(。分部积分法：vduuvudv。35、定积分的性质。36、（定积分中值定理）如果函数xf在闭区间ba,上连续，则在积分区间ba,上至少存在一个点，使下式成立：baabfdxxfba,)(，这个公式叫做积分中值公式。37、xxadttf)(bxa，为积分上限的函数（或变上限的定积分）。它的导数是)()(xfdttfdxdxxabxa积分上限的函数是上限的函数。会计算如：dtxtdxd20sin类型的题目。（原函数存在定理）如果函数xf在ba,上连续，则函数xxadttf)(就是xf在ba,上的一个原函数。38、aFbFdxxfba)(叫做牛顿—莱布尼兹公式，又叫微积分基本公式。计算定积分：1）先用求不定积分的方法求出一个原函数。2）把上、下限代入原函数。3）作减法运算。39、定积分的换元法：badxxf)(dtttf，注：1、用tx，把x代换成新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限。2、求出ttf的一个原函数t后，只要把新变量t的上下限代入t后相减。40、定积分的分部积分法：babavduabuvudv。41、会用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积。42、微分方程求解问题。