第一讲 参数方程与极坐标知识归纳与达标验收

第一讲命题热点关注高频考点例析阶段质量检测考点一考点二考点三考点四本讲知识归纳与达标验收返回返回返回考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．返回真题体验1．(2012·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．解析：将ρ＝4sinθ化成直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R)化成直角坐标方程为x－3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d＝|0－23|2＝3.答案：3返回2.(2012·上海高考)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝π6.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________.返回解析：在直线l上任取点P(ρ，θ)，在△OPM中，由正弦定理得OMsin∠OPM＝OPsin∠OMP，即2sinπ6－θ＝ρsin5π6，化简得ρ＝1sinπ6－θ，故f(θ)＝1sinπ6－θ.答案：1sinπ6－θ返回3．(2011·江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.答案：x2＋y2－4x－2y＝0.返回返回利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．返回[例1]已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离为4，A、B是圆上的两动点且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．[解]如图，以圆心O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝36，P(4,0)．返回设Q(x，y)，PQ与AB相交于P1，则P1＝(4＋x2，y2)．由|PQ|＝|AB|＝2r2－|OP1|2，即x－42＋y2＝236－[4＋x22＋y22]，化简，可得x2＋y2＝56.即所求顶点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.返回设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞0y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．返回[例2]在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝2x，y′＝2y后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．[解]将x′＝2x，y′＝2y代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.化简，得(x－52)2＋(y＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆.返回在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．返回求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ、θ的关系．[例3]△ABC底边BC＝10，∠A＝12∠B，以B为极点，BC为极轴，建立极坐标系，求顶点A的轨迹的极坐标方程．返回[解]如图：令A(ρ，θ)，△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝θ2，又|BC|＝10，|AB|＝ρ.由正弦定理，得ρsinπ－3θ2＝10sinθ2，化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ.返回互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ，ρsinθ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．返回[例4]已知圆的极坐标方程ρ＝2cosθ，直线的极坐标方程为ρcosθ－2ρsinθ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．[解析]将ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，即有x2＋y2－2x＝0，亦即(x－1)2＋y2＝1.将ρcosθ－2ρsinθ＋7＝0化为x－2y＋7＝0，故圆心到直线的距离d＝|1＋7|12＋－22＝855.[答案]855返回[例5]在极坐标系中，点M坐标是(2，π3)，曲线C的方程为ρ＝22sin(θ＋π4);以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点．(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长．返回[解](1)∵直线l过点M(2，π3)和极点，∴直线l的直角坐标方程是θ＝π3(ρ∈R)．ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.(2)点M的直角坐标为(1，3)，直线l过点M和原点，∴直线l的直角坐标方程为y＝3x.曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r＝2，圆心到直线l的距离为d＝3－12，∴|AB|＝3＋1.返回点击下图进入