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常微分方程试题库(三)、计算题,(每小题8分)1.解方程:0)(22xydydxxyx;2.解方程:024xyxydxdy;3.解方程:0)(22xydydxxyx;4.解方程:yx=yyx22;5.解方程:;6.解方程:xyxyyxtan;7.解方程:;8.解方程:yyxey;9.解方程:xyxyyxdxdy3225423;10.解方程:yxyyxydxdy22;11.解方程:0)1()(dyedxeeyyyx;12.解方程:243yxyx;13.解方程:0)()13(22dyxxydxxyy;14.解方程:xxxyxyxxdxdycossincossin;15.解方程:3432842yxyxyyxxdxdy;16.解方程:02yyxy;17.解方程:;18.解方程:04)4(xx;19.解方程:yeyy)1(;20.解方程:122yx;21.解方程:;22.解方程:6244xyyx;23.解方程:033yyyy;224.解方程:;25.解方程:0212122xyy;26.解方程:04)3()5(xx;27.解方程:0)2()32(22dyyxxdxxyy;28.解方程:0485xxxx;29.解方程:02)3()5()7(xxx;30.求方程2yxdxdy经过(0,0)的第三次近似解.选题说明:每套试题选3个题为宜。3(三)、计算题参考答案及评分标准:(每小题8分)1、0)(22xydydxxyx解:原方程可化为:yxyyxdxdy1(2分)令uxy整理得:dxxxudu)11(2,(2分)积分:Cxxu1ln212,(2分)将uxy代入,原方程的通解为:xCxxxy22ln2222,,0x是原方程的常数解.(2分)2、024xyxydxdy解:0y是方程的特解,0y时,(2分)令3yz得xxzdxdz36,(2分)解之得2123xCez,(2分)故原方程的通解为:21233xCey.(2分)3、0)(22xydydxxyx解:因为yxNyyM,2,xNxNyM1,(2分)所以x为积分因子,两边乘以x得:02223ydyxdxxxdxydxx,(2分)所以0)312141(3224xxyxd,(2分)故原方程的通解为:Cyxxx2234643.(2分)4、yx=yyx224解:原方程可化为:xyxyy221,(2分)令uxy整理得:xdxudu21,(2分)积分得:Cxulnarcsin,(2分)将uxy代入,原方程的通解为:)sin(lnCxxy.(2分)5.解方程:解一:令uxy,则xduudxdy,原方程可化为:(2分)xdxudu1,(2分)积分得:cxu1.(2分)将uxy代回得原方程的通解为:xcxy2.(2分)解二:因为1,2xNyM,xNxNyM3,(2分)所以3x为积分因子,两边乘以3x得:02232dyxdxyxdxx,(2分)所以0)(21yxxd,(2分)故原方程的通解为:xCxy2.(2分)6.xyxyyxtan解:原方程可化为:xyxyytan,(2分)令uxy整理得:5xdxudutan,(2分)积分得:Cxusin,(2分)将uxy代入,原方程的通解为:.(2分)7.解:令1yz,原方程可化为:xxzdxdzcossin,(2分)由一阶线性方程的通解公式),)(()()(dxexfCezdxxpdxxp得:))cos(sin(11dxexxCezdxdx(2分))cossin(xdxexdxeCexxxxCexsin,(2分)原方程的通解为:(2分)8.yyxey解:原方程可化为:1)(lnyyxy,(1分)令py得1)(lnpxpy,(1分)两边对x求导,并以p代替y,整理得0)ln)(ln1(ppdxdpxp.(2分)6从0ln1p得ep,代如1)(lnpxpy可得原方程的一个特解:exy,(1分)从0lnppdxdpx解的Cxep,代如1)(lnpxpy可得原方程的通解:CxeCy1.(3分)9.xyxyyxdxdy3225423解:原方程可化为:0)32()25(423dyxyxdxyyx因为yxxNyxyM38,4533,xyMxNyxNyM1,(2分)所以xy为积分因子,两边乘以xy得:03225225324dyyxydyxdxxydxyx,(2分)从而有:0)(3225yxyxd,(2分)故原方程的通解为:Cyxyx3225.(2分)10.yxyyxydxdy22解:原方程可化为:0)2()(2dyyxdxyxyy因为1,21xNyxyM,1NxNyM,(2分)所以xe为积分因子,两边乘以xe得:022dyyedyxedxeydxxyeydxexxxxx,(2分)所以:0)()(2dyxexdedxeyeydxxxx,(2分)70)(2xxxyeeyd,(1分)故原方程的通解为:xCexyy2.(1分)11.0)1()(dyedxeeyyyx解:因为0,1xNeyMy,1NxNyM,(2分)所以xe为积分因子,两边乘以xe得:0dyeedyedxeedxydxexyxxyx,(2分)所以:0)(yxxyxdeedeedxyed,(2分)0)(yxxexyed,(1分)故原方程的通解为:Cexeyyxx.(1分)12.243yxyx解:由分析可知2xy是该方程的一个解,(2分)作变换zxy2,原方程可化为322xzzxdxdz,(2分)解之得;)ln(21xCxz,(2分)故原方程的通解为:)ln11(2xCxy.(2分)13.0)()13(22dyxxydxxyy解:因为xyxNxyyM2,32,xNxNyM1,(2分)8所以x为积分因子,两边乘以x得:033222dyxydyxxdxydxxdxxy,(2分)所以:0)()21()21(3222yxdxdyxd,(2分)0)2121(2322xyxyxd,(1分)故原方程的通解为:Cxyxyx23222121.(1分)14.xxxyxyxxdxdycossincossin解:原方程可化为:0)cossin()cossin(dyxxxydxxyxx因为xxxxyxNxyMsincoscos,cos,1MxNyM,(2分)所以ye为积分因子,两边乘以ye得:0)cossin()cossin(dyxxxyedxxyxxeyy,(2分)取000yx有:dxxxxyeyxUxy0)sincos(),(,(2分))sincossin(xxxxyey,(1分)故原方程的通解为:Cxxxxyey)sincossin(.(1分)15.3432842yxyxyyxxdxdy解:原方程可化为:0)84()2(3432dyyxyxdxyyxx因为4341,1yxNxyM,xyMxNyxNyM21,(2分)9所以xy2为积分因子,两边乘以xy2得:0)84)(2()2)(2(3432dyyxyxxydxyyxxxy,(2分)取000yx有:yxdyydxyxyyxyxxyxU0302243216)244(),(,(2分)422254342215134yxyyxyxyxx,(1分)故原方程的通解为:Cyxyyxyxyxx422254342215134.(1分)16.02yyxy解:原方程可化为:2yyxy,(1分)令py得2pxpy,(1分)两边对x求导,并以p代替y,整理得0)2(dxdppx.(2分)从02px得xp21,代入2pxpy可得原方程的一个特解:241xy,(2分)从0dxdp解的Cp,代如2pxpy可得原方程的通解:2CCxy.(2分)17.解:原方程可化为:3278yy,(1分)令py得103278py,(1分)两边对x求导,并以p代替y,整理得01982dxdpp.(2分)解之得:)(23Cxp,(2分)代如3278py可得原方程的通解:3)(Cxy.(2分)18.04)4(xx.解:其特征方程为:044,(2分)特征根为:.1.1,1,1iiii(2分)所以其实基本解组为:,costet,sintet,costet,sintet(3分)原方程的通解为:21cosCteCxt3sinCtet4cosCtettetsin.(1分)19.yeyy)1(解:令py得pepy)1(,(1分)两边对x求导,并以p代替y,整理得0)1(dxdpepp.(2分)可得:0p,与01dxdpep(1分)解之得:0p,与cxpln(2分)11代入pepy)1(得:1y为常数解,与通解:)1(lncxcxy.(2分)20.122yx解:令tycos,则txsin,(2分)利用dxydy得:tdtdy2cos,(2分)积分得:Ctty2sin4121,(2分)将xtarcsin代入得原方程的通解:Cxxxy)1(arcsin212.(2分)21.解:原方程可化为:0))((221xxyeyyyeyy,(2分)由02xyeyy得:22xexCey,(2分)由02xyeyy得:22xexCey,(2分)故原方程的通解为:22xexCey.(2分)22.6244xyyx解:由分析可知3xy是该方程的一个解,(2分)作变换zxy3,原方程可化为422xzzxdxdz,(2分)解之得;35521515)51(xCxxCxz,(2分)故原方程的通解为:)1551(53Cxxy.(2分)23.033yyyy解:其特征方程为:0)1(133323,(2分)特征根1为3重根,(2分)12所以其基本解组为:xxxxexexxee32,,,,(3分)原方程的通解为:xxxxexCexCxeCeCy342321.(1分)24.解:显然0y是方程的解,(1分)当0y时,两边乘以21y原方程可化为022yyyyy,(2分)从而有:0)(yyydxd,(1分)1Cyyy,(2分)解之的:11211xCeCCCy,(2分)为原方程的通解.25.0212122xyy解:由分析可知1xy是该方程的一个解,(2分)作变换zxy1,原方程可化为21zzxdxdz,(2分)解之得;)ln(1xCxz,(2分)故原方程的通解为:)ln(11xCxxy.(2分)26.04)3()5(xx解:其特征方程为:0)2)(2(4335,(2分)特征根0为
本文标题:常微分方程试题库3
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