2018考研数学概率基础讲义

概率论与数理统计全程基础班张宇引言:２个选择题＋１个填空题⇒３×４′＝１２′２个解答题⇒２×１１′＝２２′{目标:满分特点:①要真懂②要用微积分工具五大问题:①如何处理复杂事件②如何求分布③如何求数字特征④如何使用极限定理(大样本情况下)⑤如何作估计与评价一、如何处理复杂事件１．随机试验与样本空间①随机试验(E)１０同条件下可重复２０试验结果明确可知,且不止一个３０试验之前不知哪个结果会发生􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺ìîíïïïïïï１新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列　　②几个基本概念１０试验结果中每一个最简单、最基本(不可再分)的结果,叫样本点(基本事件),记作ω２０ω的全体叫样本空间,记作Ω３０样本空间的子集叫随机事件,记作(英文大写字母)A、B、C,．．．．４０子集中Ω本身:必然事件φ:不可能事件{２．古典概型若随机试验E的样本空间Ω中有有限个样本点样本点的发生具有等可能性{,称其为古典概型．则P(A)＝A中所含样本点的个数Ω中含样本点总数【注】计数方法:１０穷举法:个数不多时,直接数数即可２０集合对应法:①加法原理———完成一件事有n类方法,第一类方法中有m１种办法,第二类方法中有m２种方法,􀆺．,第n类方法中有mn种办法,则完成此事共有∑ni＝１mi种办法．②乘法原理———完成一件事有n个步骤．第一步有m１种方法,第二步有m２种方法,􀆺．．,第n步有mn种办法,则完成此事共有∏ni＝１mi种办法．③排列———从n个不同的元素中取出m(≤n)个元素,并按照一定顺序排成一列,叫排列．所有排列的个数叫排列数．记作Pmn＝n(n－１)(n－２)．．．．(n－m＋１)＝n!(n－m)!当m＝n时,Pnn＝n!０!＝n!叫全排列．④组合———从n个不同的元素中取出m(≤n)个元素,并成一组,叫组合．所有组合的个数叫组合数．Cmn＝Pmnm!３０对立事件思想———若研究A复杂,则转而研究A－,用n－nA－＝nA(总数－易算出)．【例１】从０到９十个数字中,任取３个不同数字,求下列事件的概率A１＝三个数中不含０和５{}A２＝三个数字中不含０或５{}A３＝三个数字中含０,但不含５{}２新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列【分析】P(A１)＝C３８C３１０＝７１５;P(A２)＝C３１０－C１１C１１C１８C３１０＝１４１５;P(A３)＝C１１C２８C３１０＝７３０．【例２】袋中５球,３白２黑(１)从袋中先后有放回取２球⇒P(A)＝C１５C１５－C１２C１２C１５C１５＝２１２５(２)先后无放回取２球⇒P(A)＝C１５C１４－C１２C１１C１５C１４＝９１０(３)任取２球⇒P(A)＝C２５－C２２C２５＝９１０求P(A)＝P至少一白{}．【分析】先求P(A－)＝P２球全黑{}【注】C１５C１４－C１２C１１C１５C１４＝C２５－C２２C２５⇒１－C１２C１１C１５C１４＝１－C２２C２５⇒C１２C１１C１５C１４＝C２２P２２C２５P２２＝C２２C２５P(先后无放回)«－P(任取)【例３】袋中１００个球,４０个白６０黑．①先后无放回取２０个,求P１５白５黑{}②先后无放回取２０个,求P第２０次取到白{}③先后有放回取２０个,求P１５白５黑{}④先后有放回取２０个,求P第２０次取到白{}＝４０１００【分析】①P(A)＝C１５４０C５６０C２０１００;②P(B)＝C１４０􀅰９９!１００!＝４０１００;③P(C)＝C１５２０􀅰C５５􀅰４０１５×６０５１００２０理解一:按概率摸球．二、盐与水３．几何概型①引例②定义:设Ω是一个可以度量的几何区域,每个样本点的发生具有等可能性(即,样本点落入Ω中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比,而与A的位置及形状无关),则称其为几何概型,且P(A)＝A的测度Ω的测度．【例１】设我上午八点到九点时间段内进教室,求P我在８:３０－９:００时间段进教室{}【分析】P＝１２１＝１２【注】P我恰在８:３０进教室{}＝０１＝０．则若P(A)＝０推不出A为不可能事件;若P(A－)＝１推不出A－为必然事件,反之均成立．３新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列【例２】君子有约,上午９:００－１０:００甲乙在校门口见面,等２０分钟你不来,即离开．求:P甲乙能见面{}【分析】P(A)＝SASΩ＝６０２－４０２６０２＝５９【例３】在(０,１)内随机的取两个数,P两数之和小于６５{}．【分析】PX＋Y＜６５{}＝１－４５×４５×１２１＝１７２５．４．重要公式求概率①对立事件:P(A)＝１－P(A－)②减法:P(A－B)＝P(A)－P(AB)③加法:P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)＋P(ABC)【注】１)若A１,A２,．．．．,An(n＞３)两两互斥⇒P(A１＋A２＋．．．＋An)＝∑ni＝１P(Ai)．２)若A１,A２,．．．．,An(n＞３)相互独立⇒P(A１＋A２＋．．．＋An)＝１－P(A１＋A２＋．．．＋An)＝１－P(A１A２．．．．An)＝１－∏ni＝１P(Ai)＝１－∏ni＝１[１－P(Ai)]其中,所谓相互独立是指:设A１,A２,．．．．,An,若对其中任意有限个Ai１,Ai２,．．．．,Aik,(n≥k≥２),都有P(Ai１,Ai２,．．．．,Aik)＝P(Ai１)P(Ai２)．．．．P(Aik),则称A１,A２,．．．．,An相互独立．且“夫唱妇随”指:n个事件相互独立⇔它们中的任意一部分事件换成其各自的对立事件所得的n个新事件相互独立．④条件概率公式P(AB)＝P(AB)P(B),P(B)＞０【注】标志性的词汇:已知􀆺􀆺,当􀆺􀆺．．发生了．⑤乘法公式:P(AB)＝P(AB)P(B)或P(AB)＝P(BA)P(A)一般地,P(A１A２．．．．An)＝P(A１)P(A２A１)P(A３A１A２)．．．P(AnA１A２．．．An－１)．⑥全集分解公式１０引例设一个村子和三个小偷.分别为A１,A２,A３,村子失窃{}＝BP(B)＝P(A１)P(BA１)＋P(A２)P(BA２)＋P(A３)P(BA３)４新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列１()选人:A１,A２,A３(２)去偷:P(BA１)＝０　P(BA２)＝１２　P(BA３)＝１２０定义与公式设－E可分为两个阶段,(Ⅰ)∪ni＝１Ai＝Ω,AiAj＝φ,i≠j(称A１,A２,．．．．,An为Ω的一个划分,也叫完备事件组)求(Ⅱ)阶段事件B发生的概率,则P(B)＝P(BΩ)＝P(B(∪ni＝１Ai))＝P(B∩(A１＋A２＋．．．＋An))＝P(BA１＋BA２＋．．．＋BAn)＝∑ni＝１P(BAi)＝∑ni＝１P(BAi)P(Ai)⑦贝叶斯公式－E可分为两个阶段(Ⅰ)同上(Ⅱ)已知B发生了,求P(AjB)P(AjB)＝P(AjB)P(B)＝P(BAj)P(Aj)∑ni＝１P(BAi)P(Ai)【例１】有甲乙两名射击手,轮流独立打靶,甲命中的概率为α,乙命中的概率为β,甲先射击,谁先命中谁获胜,求P甲胜{}【分析】记Ai＝第i次命中{},i＝１,２,．．．．．则P甲胜{}＝PA１＋A１A２A３＋A１A２A３A４A５＋．．．．{}互斥P(A１)＋P(A１A２A３)＋P(A１A２A３A４A５)＋．．．．独立P(A１)＋P(A１)P(A２)P(A３)＋P(A１)P(A２)P(A３)P(A４)P(A５)＋．．．＝α＋(１－α)(１－β)α＋(１－α)２(１－β)２α＋．．．．＝α１－(１－α)(１－β)【注】P乙胜{}＝１－P甲胜{}＝β(１－α)１－(１－α)(１－β)若α＝β＝p,q＝１－p则P甲胜{}＝１１＋q,P乙胜{}＝q１＋q【例２】某彩票每周开奖一次,中奖概率十万分之一,且各周开奖互相独立,某人每周买一次,坚持十年(每年５２周),则P此人从未中奖{}【分析】记Ai＝第i次中奖{}i＝１,２,．．．,５２０,且P＝１０－５则５新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列P此人从未中奖{}＝PA１A２．．．A５２０{}＝P(A１)P(A２)．．．P(A５２０)＝(１－１０－５)５２０＝０．９９４８【例３】１０份报名表,３女７男．先后无放回抽取,则P第３次取到女{}＝C１３􀅰９!１０!＝３１０P第３次才取到女{}＝P(A１A２A３)＝P(A１)P(A２A１)P(A３A１A２)＝７１０􀅰６９􀅰３８＝７４０记Ai＝第i次取到女{}P已知前两次均取到男,第３次取到女{}＝P(A３A１A２)＝３８【例４】设两批数量相同的零件,有一批全部合格,另一批２５％不合格.７５％合格,现从两批产品中任取一件,经检验为合格品,放回原处．并从该处再取一件,求这一件是不合格品的概率．【分析】分成两个阶段(１)选批次一批(H１)二批(H２)(２)取零件A为合格,A－为不合格{则有P(H１)＝P(H２)＝１２(等可能)P(AH１)＝１,P(AH２)＝３４,P(A)＝P(AH１)P(H１)＋P(AH２)P(H２)＝７８．则P(H１A)＝P(AH１)P(A)＝P(AH１)P(H１)７８＝４７,P(H２A)＝３７于是,设Ci＝第二次从第i批中取零件{},i＝１,２⇒P(C１)＝４７,P(C２)＝３７⇒P(A－)＝P(A－C１)P(C１)＋P(A－C２)P(C２)＝０×４７＋１４×３７＝３２８．【例５】设有两箱同种零件,第一箱５０件,１０件一等品,第二箱３０件,１８件一等品,先从中随机挑出一箱,再从该箱中先后无放回取出两个零件,求(１)第一次取到一等品的概率;(２)在第一次取出的是一等品的条件下,第二次仍取到一等品的概率．【分析】分成两个阶段(１)选箱子H１,H２(２)取零件{H１＝取第一箱{},H２＝取第二箱{}B１＝第一次取到一等品{},B２＝第二次取到一等品{}６新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列(１)P(B１)＝P(B１H１)P(H１)＋P(B１H２)P(H２)＝１２×１０５０＋１８３０×１２＝４１０;(２)按上题的思路⇒P(H１B１)＝P(B１H１)P(H１)P(B１)＝１０５０×１２４１０＝１２×１０５０×５２P(H２B１)＝P(B１H２)P(H２)P(B１)＝１８３０×１２４１０＝１２×１８３０×５２⇒P(B２B１)＝１２×１０５０×５２􀅰９４９＋１２×１８３０×５２􀅰１７２９＝０．４８５６(２)另解P(B２B１)＝P(B１B２)P(B１)＝P(B１B２H１)P(H１)＋P(B１B２H２)P(H２)４１０＝１４１０(１２×１０５０×９４９＋１２×１８３０×１７２９)＝１２×１０５０×５２􀅰９４９＋１２×１８３０×５２􀅰１７２９＝０．４８５６【注】典型错误:１２×９４９＋１２×１７２９＝０．３８４９二、如何求分布１．基本概念①随机变量(r．v．)⇒定义在样本空间Ω上,而取值于实数轴上的函数X＝X(ωi),ωi∈Ω．称为随机变量．②分布函数F(x)＝PX≤x{}x从－¥取遍整个实数轴到＋¥．１０离散型———可能取值是有限个或无穷可列个分布律X~x１x２􀆺xn􀆺p１p２􀆺pn􀆺æèççöø÷÷,也可写成P(X＝xi)＝pii＝１,２,􀆺且F(x)Δ＝PX≤x{}２０连续型对于某一X,若存在非负可积函数f(x),使∀x,有F(x)＝∫x－¥f(t)dt,x∈(－¥,＋¥),称X为连续型随机变量,F(x)是分布函数,f(x)叫概率密度．F(x)Δ＝PX≤x{}＝∫x－¥f(t)dt【注】若X~pii＝１,２,．．．．分布律⇔X离散型７新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列若X~f(x)概率密度⇔X连续型２．常见的(八个)一维分布五个离散型三个连续型􀆺􀆺􀆺