3.1 空间直角坐标系与向量

只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门学科结合成伴侣时，它们就互相吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完善。——法国数学家拉格朗日(1736-1813)3.1空间直角坐标系与向量3.1.1.空间直角坐标系3.1.2.向量的概念3.1.3.向量的线性运算3.1.4.向量在轴上的投影3.1.5.方向余弦3.1.1空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.zyxox轴:横轴；y轴：纵轴；z轴：竖轴oxyz符合右手系.oxyzoxyz不符合右手系.Ⅶxyoz空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧyoz面zox面xoy面空间的点M11有序数组(x,y,z)特殊点的表示:(0,0,0)O原点xyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点P,Q,R,坐标面上的点A,B,C,),,(zyxM..,,的坐标称为点Mzyx向量：既有大小又有方向的量.以A为起点，B为终点的有向线段.向量的模：向量的大小.或||||a单位向量：模为1的向量.零向量：模为0的向量.(模又称为长度或范数)AB向量的表示：或aAB||AB||a3.1.2向量的概念零向量没有确定的方向.自由向量：不考虑起点位置的向量.aa向量的坐标表示：把向量作平行移动，使其起点与原点重合.设其终点A的坐标为(a1,a2,a3),则称a1,a2,a3为向量的分量或坐标，记为=(a1,a2,a3).aOAaa=a1=b1,a2=b2,a3=b3.设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),相等向量：大小相等且方向相同的向量.•向量的模：设A=(a1,a2,a3)利用勾股定理从图中可得oxyz1a2a3aA232221aaa||OA||定义设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),+称为加法，k•称为数乘.加法与数乘统称为线性运算.+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),k•=(ka1,ka2,ka3).3.1.3向量的线性运算减法：-=+（-）=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).负向量：大小相等但方向相反的向量.a•向量线性运算满足的运算规律(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0=;(4)+(-)=0;(5)1=;(6)k(l)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.1.向量加法运算的几何意义——平行四边形法则PAO,OPOBOAOP是以OBOA,为边的平行四边形的对角线.B2.向量减法运算的几何意义AP,OPOBOAPAOBOBOAOP例已知两点),,(321aaaA,),,(321bbbB，求AB的坐标.),,(332211abababOAOBABPOA3.向量数乘运算的几何意义——伸缩变换232221||aaakoxyz1a2a3aA232221)()()(kakaka||kOA||||k||OA||3.向量数乘运算的几何意义——伸缩变换232221||aaak232221)()()(kakaka||kOA||||k||OA||akb(2)k=0,0b(1)k0,ba与同向；aa2a21(3)k0,与a反向.b例非零向量单位化设向量,0a,||||1aaea令则|||||||||1|||||aaea1||||||||1aa.同方向的单位向量是与aea例证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.证设DE是中位线，DE=DA+AE21=BC.=BA+AC2121=(BA+AC)21ABCED例用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证AMMCBMMDADAMMDMCBMBCAD与平行且相等,BC结论得证.ABCDMab4.基向量与线性表出)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(kji单位向量kji,,称为基向量.a=(a1,a2,a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)kajaia321称a可由kji,,线性表出.xyzOijk向量a与b可平行移动到同一条直线上时,称向量a与b平行,又称向量a与b共线,记作a//b当b//a且0a时,存在R,使ab.则称向量b可由向量a线性表出.当0时，a与b同号；当0时，a与b异号5.向量平行(向量共线)aaaabbbb),,(),,(321321).0,0(.//332211iibaabababba则若3.1.4向量在轴上的投影1.空间一点在轴上的投影uAA过点A作轴u的垂直平面，交点A即为点A在轴u上的投影.uoA'AB'B2.向量在轴上的投影过点A,B作垂直于轴u的平面，与轴u交于A’,B’点，于是向量AB在轴u上的投影定义为uPrjAB||A’B’||,A’B’与u同向-||A’B’||,A’B’与u反向向量OA的坐标a1,a2,a3分别是在三个坐标轴上的投影.OA设kjim853，kjin742，kjip45，求向量pnma34在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kji,15713kji在x轴上的投影为131a,在y轴上的分向量为j7.例3.空间两向量夹角的概念：,0a,0b向量a与向量b的夹角为使其中一个向量与另一个向量方向一致时所旋转的最小角度，记为b,aa,b0()当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.ba4.向量在轴上的投影有以下两个性质：uBBu证ABjuPrABjuPrcos||||ABBAA投影为负；投影为零；0)1(,22)2(,)3(,2投影为正；u上的投影等于向量的模乘以(1)向量AB在轴向量与轴的夹角的余弦：ABjuPrcos||||AB(2）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和..PrPr)(Pr2121aaaauuujjjAABBCCu1a2a设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点5.空间上两点间距离公式),,(1212121221zzyyxxOMOMMM特别，若两点分别为,),,(zyxM)0,0,0(Od.222zyx例设P在x轴上，它到)3,2,0(1P的距离为到点)1,1,0(2P的距离的两倍，求点P的坐标.解设P点坐标为),0,0,(x因为P在x轴上，1PP22232x,112x2PP22211x,22x1PP,22PP112x222x,1x所求点为).0,0,1(),0,0,1(,0,0.0xyzo1M2M非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.a,,,,,,kajaia3.1.5方向余弦2322211cosaaaa2322212cosaaaa2322213cosaaaacos，cos，cos称为向量a的方向余弦.由图示可知xyzo2M1Ma11coscoscos222方向余弦的特征：aeaa).cos,cos,(cos特别，单位向量的方向余弦为),,(321aaaaaa例已知两点)4,0,3(A,)3,2,4(B，求AB的方向余弦和方向角.解,3,4,21cos,21cos,22cos.32设向量21PP，2||||21PP，它与x轴和y轴的夹角分别为3和4，如果1P的坐标为)3,0,1(，求2P的坐标.解设向量21PP的方向角为、、,3,4,21cos,22cos例设2P的坐标为),,(zyx,1cosx||||21PP21x21,2x20y22,2y23z,2,4zz2P的坐标为).2,2,2(),4,2,2(210cosy||||21PP3cosz||||21PP,1coscoscos222.21cos作业：习题3.14,5,7,8,10,11