VAR模型与向量VECM模型

向量自回归模型（VAR）与向量误差修正模型（VEC）向量自回归模型（VAR(p)）传统的经济计量学联立方程模型建摸方法,是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关，从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（VectorAutoregressionModel）。VAR模型最早是1980年，由C.A.Sims引入到计量经济学中，它实质上是多元AR模型在经济计量学中的应用，VAR模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元MA模型、ARMA模型，也可化为VAR模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。VAR模型的一般形式1、非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非限制性VAR模型设12(...)tttktyyyy为一k维随机时间序列，p为滞后阶数，12(...)tttktuuuu为一k维随机扰动的时间序列，且有结构关系(1)(1)(1)(2)(2)(2)111111221111112122212()()()11112211(1)(1)(1)(2)(2)2211122212121122222................tttkktttkktppptptpkktpttttkktttyayayayayayayayayayuyayayayayay(2)22()()()21212222(1)(1)111.............................................................................................................................kktppptptpkktptktktkayayayayuyaya(1)(2)(2)(2)2211112122212()()()1122............tkkktkttkktpppktpktpkkktpktyayayayayayayayu1,2,...,tT（15．1．1）若引入矩阵符号，记()()()11121()()()21222()()()12......,1,2,...,........................................iiikiiikiiiikkkkaaaaaaAipaaa可写成1122...tttptptyAyAyAyu，1,2,...,tT（15．1．2）进一步，若引入滞后算子L，则又可表示成(),1,2,...,ttALyutT（15.1.3）其中:212()...pkpALIALALAL,为滞后算子多项式.如果模型满足的条件:①参数阵0,0;pAp②特征方程212det[()]...0pkpALIALALAL的根全在单位园外；③~(0,)tuiidN，1,2,...,tT，即tu相互独立，同服从以()0tEu为期望向量、ov()()tttCuEuu为方差协方差阵的k维正态分布。这时，tu是k维白噪声向量序列，由于tu没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；()()0,1,2,...ttjttjCovuxEuxj，即tu与tx及各滞后期不相关。则称上述模型为非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非限制性VAR模型。2、受限制性VAR模型，或简化式受限制性VAR模型如果将12(...)tttktyyyy做为一k维内生的随机时间序列，受d维外生的时间序列12(..)tttdtxxxx影响（限制），则VAR模型为1122...tttptpttyAyAyAyDxu，1,2,...,tT（15．1．4）或利用滞后算子表示成(),1,2,...,tttALyDxutT（15.1.5）其中：111212122212.....................................ddkkkdddddddDddd此时称该模型为受限制性VAR模型，简化式受限制性VAR模型。对于受限制性VAR模型，可通过12(...)tttktyyyy对12(..)tttdtxxxx作OLS回归，得到残差估计ˆtttyyy，从而将ty变换成（15.1.2）或（15.1.3）形式的非限制性VAR模型，即1122...tttptptyAyAyAyu，1,2,...,tT（15．1．6）(),1,2,...,ttALyutT（15.1.7）这说明受限制性VAR模型可化为非限制性VAR模型。简化式非限制、受限制VAR模型，皆简记为()VARp。3、结构式非限制性VAR模型如果12(...)tttktyyyy中的每一分量受其它分量当期影响,无d维外生的时间序列12(..)tttdtxxxx影响（限制）,则模型化为01122...tttptptAyAyAyAyu，1,2,...,tT（15．1．8）或利用滞后算子表示成(),1,2,...,ttALyutT（15.1.9）其中：(0)(0)121(0)(0)2120(0)(0)121...1..................................1kkkkaaaaAaa,这时的2012()...ppALAALALAL此时称该模型为结构式非限制性VAR模型。如果0A可逆，既逆阵10A存在，则结构式非限制性VAR模型可化为简化式非限制性VAR模型111101102200...tttptptyAAyAAyAAyAu，1,2,...,tT（15．1．10）或利用滞后算子表示成10(),1,2,...,ttALyAutT（15.1.11）这时，其中的112101020()...ppALIAALAALAAL4、结构式受限制性VAR模型如果将12(...)tttktyyyy做为一k维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响,且还受d维外生的时间序列12(..)tttdtxxxx影响（限制），则VAR模型为01122...tttptpttAyAyAyAyDxu，1,2,...,tT（15．1．12）或利用滞后算子表示成(),1,2,...,tttALyDxutT（15.1.13）此时称该模型为结构式受限制性VAR模型。如果0A可逆，既逆阵10A存在，则结构式受限制性VAR模型可化为简化式受限制性VAR模型11111011022000...tttptpttyAAyAAyAAyADxAu，1,2,...,tT（15．1．14）或利用滞后算子表示成1100(),1,2,...,tttALyADxAutT（15.1.15）这时，其中的112101020()...ppALIAALAALAAL结构式非限制、受限制VAR模型，皆简记为()SVARp。简化式VAR模型的参数估计VAR模型参数估计,简化式VAR模型比较简单可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计法等进行估计,且可获得具有良好统计性质的估计量。结构式VAR模型参数估计比较复杂，可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。另一种途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有众多内生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？这也与结构式模型的识别性有关。对于简化式VAR模型（15.1.1）—（15.1.3），在冲击向量满足假设~(0,)tuiidN，1,2,...,tT，即tu相互独立，同服从以()0tEu为期望向量、ov()()tttCuEuu为方差协方差阵的k维正态分布。这时，tu是k维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵12,,...,pAAA及也可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计。设12(...)tttktyyyy,1,2,...,tT为长度为T的样本向量①Yule-Walker估计在T充分大时,首先估计自协方差阵1ˆ/ThtththyyT(15.1.16)令011102120ˆˆˆ...ˆˆˆ...ˆ............ˆˆˆ...pppp,1122ˆˆˆˆˆˆ,ˆˆpPAAAA则可得模型参数阵的Yule-Walker估计(矩估计)为112ˆˆˆˆˆˆPAAAA1011102120ˆˆˆ...ˆˆˆ...............ˆˆˆ...pppp12ˆˆ,ˆp（15.1.17）②OLS估计模型参数阵12,,...,pAAA的OLS估计，即求使121111ˆˆˆˆˆ(,,...,)()()minppTptjtjtjtjjpjjQAAAyAyyAyT下的12ˆˆˆ,,...,pAAA作为12,,...,pAAA估计。记1ˆ/ThtthtpyyT(15.1.18)由此可推得112ˆˆˆˆˆˆPAAAA1011102120ˆˆˆ...ˆˆˆ...............ˆˆˆ...pppp12ˆˆ,ˆp（15.1.19）由此可见,模型参数阵12,,...,pAAA的OLS估计(15.1.15)与Yule-Walker估计(15.1.13)形式相同,但式中的ˆh的计算不同.但是,当T充分大时,(15.1.16)与(15.1.18)相差很小,这时(15.1.17)与(15.1.19)相差也很小,这时二者的估计及估计量的性质等价。因此，在T充分大时,可直接采用Yule-Walker估计比较简单方便。而的估计为011ˆˆˆˆˆˆˆTtttAAuuT（15.1.20）其中：1122ˆˆˆˆ...ttttptpuyAyAyAy③极大似然估计可证明,模型参数阵12,,...,pAAA的极大似然估计与OLS估计完全等价。除此之外，还有递推估