大一上学期同济版高数第五章定积分

1高等数学第二十六讲2第五章一元函数积分学不定积分定积分定积分3第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质第五章4一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.?A)(xfy矩形面积梯形面积51xix1ixayo解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAi)(xfy63)近似和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.令则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(limayo1xix1ixi72.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得iiitvs)(),,2,1(1nitttiii已知速度n个小段过的路程为83)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限所要计算的量（面积、路程）决定于一个函数以及自变量的一个变化区间：).,,(21TTba9abxo二、定积分定义(P225)任一种分法,210bxxxxan任取i总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称f(x)在[a,b]上可积.记作10baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(11根据定积分的定义曲边梯形的面积等于曲边的纵坐标)(xf在其底边所占的区间ba,上的定积分，即badxxfA)(变速直线运动的物体所走过的路程等于速度函数)(tv在区间21,TT上的定积分，即21)(TTdttvS注：定积分是一种和式的极限，是一个数值。不定积分表示全体原函数。12定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和13o1xyni定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取2xyiiiixxf2)(则32ni14o1xyniiinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim312xy15121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例2.用定积分表示下列极限:ninnin111lim)1(121lim)2(ppppnnn解:ninnin111lim)1(nninin11lim1iixxxd110x01ni1ni区间不同i取值不同16三、定积分的性质(设所列定积分都存在)当ba时，和式极限的分点的大小顺序是：bxxxxann110从而nixxxiii,2,101即ix的绝对值等于小区间的长度，但符号是负的。若对调积分的上下限，把b作为下限，把a作为上限。则分点的顺序要反过来计算。公式右边中的0ix与公式左边中的ix相差一个符合。170d)(aaxxfbabaxd.2(k为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([.4证:iiinixgf)]()([lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010=右端abnixbai,2,1018证:当bca时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是],[)(baiixf],[)(caiixf],[)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(19abc当a,b,c的相对位置任意时,例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(206.若在[a,b]上0)(1iinixf则证:baxxfd)(0)(lim10iinixf推论1.若在[a,b]上则21,sin20xdx,sin202xdx205sinxdx的大小。解：在2,0x上1sin0xxxxsinsinsin2520sinxdx202sinxdx520sinxdx例如：比较22推论2.证:)(xf)(xf)(xf)(baxxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(23,)(min,)(max],[],[xfmxfMbaba则)(ba7.设,)(Mxfm,)(bababadxMdxxfdxm此性质为定积分的估值定理。24例1：估计定积分112dxex的值解：先求被积函数2)(xexf－在积分区间11，－上的最值。02)2＝（－xxexf令得驻点0x比较)(xf在驻点和区间端点处的函数值：eefef11(1)0(10＝）＝＝－可见，2)(xexf－在11，－上11＝Mem22112dxeex－即25例2.试证:证:设)(xf,sinxx则在),0(2上,有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2,1)(xf),0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120xxx268.积分中值定理则至少存在一点使))((d)(abfxxfba证:,,],[)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在],[ba使因此定理成立.即27oxbay)(xfy说明:•可把)(d)(fabxxfba故它是有限个数的平均值概念的推广.•积分中值定理对因28例3.设且f(x)≥0,证明在[a,b]上.0)(xf证:用反证法.假设存在,],[0bax,0)(0xf无妨设0x为内点,由f(x)的连续性可知,存在邻域在其上,0)(xfbxa0则baxdxf)(00)(xxxdxf0与题设矛盾!所以假设不真.(“高数”上,P236题12(1))推论:设且f(x)≥0,而则0)(baxdxf(反证法)29内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算30说明:,],[)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:),,1,0(nixiaxi,nabx),,1,0()(niyxfii记baxxfd)(.1xyxyxyn110)(110nnabyyy将[a,b]分成n等份:abxoyix1ix(左矩形公式))(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(.2xyxyxyn2131baxxfd)(.3xyyii][211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森abxoyix1ix公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.32例3.计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为tgv故所求平均速度2211TgT2Tg3301xn1n2nn1思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn)1(0x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx34思考:如何用定积分表示下述极限提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn)1(sin1lim0dsin1xx极限为0!352.P235题33.P236题13(2),(4)题8(4)解:设,)1ln()(xxxf则xxf111)(]1,0(x,0)(xf]1,0(,0)0()(xfxf0d)(10xxf即xxxxd)1(lnd1010