二项分布及其应用题型总结

二项分布专题训练一．选择题1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是1p，乙能解决这个问题的概率是2p，那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是（D）A．21pp；B．21pp；C．211pp；D．121(1)(1)pp.2．在一个盒子中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两人无放回地各取一个球，则在第一个人摸出红球的条件下，第二个人也摸出红球的概率是（A）A．13；B．23；C．49；D．59.【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A，“第二个人摸出红球”为事件B，则11692105490CCPAA，11652103090CCPABA，则5|9PABPBAPA。3．两个独立事件1A和2A发生的概率分别为1p和2p，则有且只有一个发生的概率为.122111pppp4．(04年重庆)甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，计算：⑴三人各向目标射击一次，求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率；⑵若甲连续射击三次，求他恰好一次命中的概率.解：⑴设iA(3,2,1i)表示事件“第i人命中目标”，显然1A、2A、3A相互独立，且7.0)(1AP，6.0)(2AP，5.0)(3AP.三人中恰有两人命中目标的概率为44.0)(321321321AAAAAAAAAP.三人中恰有至少有一人命中目标的概率为94.0)(1321AAAP.⑵设kA表示“甲在第k次命中目标”，3,2,1k.显然1A、2A、3A相互独立，且7.0)()()(321APAPAP.甲连续射击三次，恰好一次命中的概率为203.0)(321321321AAAAAAAAAP.5．已知在10只晶体管中有2只次品，从中连续抽取两件，且取出的产品不再放回，求下列事件的概率.⑴两只都是正品；⑵两只都是次品.解：设事件iA（1,2i）表示第i次取到正品，则iA表示第i次取到次品.依题意，1810PA，217|9PAA，1210PA，211|9PAA.⑴12AA表示第1次，第2次都取到正品，即表示两只都是正品，根据乘法公式1212128|45PAAPAPAA.⑵121211|45PAAPAPAA.另解：本题也可利用古典概型来解决.点评：本题中由于是两个都是正(次)品，由于是连续抽取且抽后不放回，故与条件概率有关.6．（04年福建·理）甲、乙两人参加一次英语口试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道，至少答对2道才算合格.⑴求甲答对试题数X的概率分布分布；⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：⑴依题意，甲答对题数X的概率分布如下：X0123P1303101216⑵方法1：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()PPABABAB()()()PABPABPAB211142144431531531545.方法2：∵甲、乙两人考试均不合格的概率为1()()()45PABPAPB，∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为441()45PPAB.7．（07年天津·文科）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B．由于事件AB，相互独立，且2327C1()C7PA，2329C5()C18PB，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126PABPAPB．（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D．由于事件CD，互斥，且1123442279CCC2()CC21PC，1125242275CCC10()CC63PD．故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363PCDPCPD．8．（01年天津）如图，用A、B、C三个不同的元件联结成两个电子系统（Ⅰ）、（Ⅱ）。当元件A、B、C都正常工作时，系统（Ⅰ）正常工作；当元件A正常工作且B、C至少有一个正常工作时，系统（Ⅱ）正常工作。已知元件A、B、C正常工件的概率依次为0.80、0.90、0.90，分别求系统（Ⅰ）、（Ⅱ）正常工作概率1P、2P，并说明哪个系统的稳定性好.解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知()0.80PA，()()0.90PBPC，则：⑴因为事件A、B、C是相互独立的，所以系统（Ⅰ）正常工作的概率为1()()()()0.648PPABCPAPBPC。⑵因为元件A正常工作与元件B、C至少有一个正常工作是相互独立的，而B、C没有一个正常工作的概率为()PBC，于是B、C至少有一个人正常工作的概率为1()()0.99PBPC，∴系统（Ⅱ）正常工作概率2()[1()]0.792PPAPBC。BCAABC（Ⅰ）（Ⅱ）（或()()()()0.99PBCPBPCPBC）