抛物线提高训练题(含详细答案)

A抛物线1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.37164．点A，B在抛物线x2＝2py(p0)上，若A，B的中点是(x0，y0)，当直线AB的斜率存在时，其斜率为()A.2py0B.py0C.px0D.x0p5．[2010·福建卷]以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝06．[2010·山东卷]已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－27．[2010·陕西卷]已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A.12B．1C．2D．48．[2010·辽宁卷]设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．169．[2011·东北三校模拟]已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．10．[2010·浙江卷]设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．11．给定抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)，斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.12．(13分)[2011·西城一模]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．13．(12分)[2011·西城一模]已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．(1)求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；(2)若FA→＝λ1AP→，BF→＝λ2FA→，λ1λ2∈14，12，求λ2的取值范围．B抛物线1．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y2．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝()A.52B.32C．－12D．－323．已知抛物线y2＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是()A．1B．2C．4D．64．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，2]C．[0,2]D．(0,2)5．已知A，B是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，O是原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是()A．x＝pB．x＝3pC．x＝32pD．x＝52p6．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)均在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.928．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为()A．4B．8C．16D．329．已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．10．[2010·全国卷Ⅱ]已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM→＝MB→，则p＝________.11．[2010·重庆卷]已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足AF→＝3FB→，则弦AB的中点P到准线的距离为________．12．(13分)[2012·珠海模拟]在平面直角坐标系xOy中，设点F12，0，直线l：x＝－12，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹方程C；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．图K50－113．(12分)[2010·湖北卷]已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA→·FB→0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．A1．B[解析]由y2＝－8x，易知焦点坐标是(－2,0)．2．B[解析]抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为a4，0，则直线l的方程为y＝2x－a4，它与y轴的交点为A0，－a2，所以△OAF的面积为12a4·a2＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.3．A[解析]设动点p到直线l2的距离之和为d，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝|4－0＋6|5＝2.4．D[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＝2py1，x22＝2py2，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝2p(y1－y2)，即kAB＝y1－y2x1－x2＝x1＋x22p＝x0p.5．D[解析]因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0.6．B[解析]抛物线的焦点Fp2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p2，即x＝y＋p2，将其代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，所以y1＋y22＝p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.7．C[解析]方法1：∵抛物线的准线方程为x＝－p2，圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16.∴3－－p2＝4，∴p＝2.方法2：作图可知，抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，解得p＝2.8．B[解析]设准线l与x轴交于点B，连接AF、PF，则|BF|＝p＝4，∵直线AF的斜率为－3，∴∠AFB＝60°.在Rt△ABF中，|AF|＝4cos60°＝8.又根据抛物线的定义，得|PA|＝|PF|，PA∥BF，∴∠PAF＝60°，∴△PAF为等边三角形，故|PF|＝|AF|＝8.9．－14[解析]抛物线方程为x2＝1ay，故其准线方程是y＝－14a＝1，解得a＝－14.10.324[解析]设抛物线的焦点Fp2，0，由B为线段FA的中点，所以Bp4，1，代入抛物线方程得p＝2，则B到该抛物线准线的距离为p4＋p2＝3p4＝324.11．±22[解析]过点A(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)，与抛物线方程联立后消掉y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1＋x1＝4－2k2k2，x1x2＝1.因为线段MN的中点在直线x＝3上，所以x1＋x2＝6，即4－2k2k2＝6，解得k＝±22.而此时k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0的判别式大于零，所以k＝±22.12．[解答](1)由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)．由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为3，所以|3k|1＋k2＝3，解得k＝±22，所以直线l的斜率为±22.(2)证明：设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线MN的斜率为y0x0－4，因为AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为4－x0y0，直线AB的方程为y－y0＝4－x0y0(x－x0)，联立方程y－y0＝4－x0y0x－x0，y2＝4x，消去x，得1－x04y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝4y04－x0，因为N为AB中点，所以y1＋y22＝y0，即2y04－x0＝y0，所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.13．[解答](1)证明：由已知Fp2，0，设A(x1，y1)，则y21＝2px1，圆心坐标为2x1＋p4，y12，圆心到y轴的距离为2x1＋p4，圆的半径为|FA|2＝12×x1－－p2＝2x1＋p4，所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切．(2)解法一：设P(0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由FA→＝λ1AP→，BF→＝λ2FA→，得x1－p2，y1＝λ1(－x1，y0－y1)，p2－x2，－y2＝λ2x1－p2，y1，所以x1－p2＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，p2－x2＝λ2x1－p2，y2＝－λ2y1，由y2＝－λ2y1，得y22＝λ22y21.又y21＝2px1，y22＝2px2，所以x2＝λ22x1.代入p2－x2＝λ2x1－p2，得p2－λ22x1＝λ2x1－p2，p2(1＋λ2)＝x1λ2(1＋λ2)，整理得x1＝p2λ2，代入x1－p2＝－λ1x1，得p2λ2－p2＝－λ1p2λ2，所以1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈14，12，所以λ2的取值范围是43，2.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：x＝my＋p2，将x＝my＋p2代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2(*)．由FA→＝λ1AP→，BF→＝λ2FA→，得x1－p2，y1＝λ1(－x1，y0－y1)，p2－x2，－y2＝λ2x1－p2，y1，所以x1－p2＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，p2－x2＝λ2x1－p2，y2＝－λ2y1，将y2＝－λ2y1代入(*)式，得y21＝p2λ2，所以2px1＝p2λ2，x1＝p2λ2.代入x1－p2＝－λ1x1，得1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈14，12，所以λ2的取值范围是43，2.B1．C[解析]点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0即y＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p＝4，故所求的抛物线方程为x2＝8y.2．D[解析]根据分析把抛物线方程化为x2＝－212－ay，则焦参数p＝12－a，故抛物线的准线方程是y＝p2＝12－a2，则12－a2＝1，解得a＝－32.3．B[解析]焦点坐