高中数学用二分法求方程的近似解课件人教版必修一

13.1.2用二分法求方程的近似解新教材研讨新教材研讨用二分法求方程的近似解授课人：刘胜云知识探究（一）:二分法的概念思考:从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,BAC6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半1.首先从中点C查2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段3.再到BC段中点D4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段5.再到CD中点E来看DE二、方法探究0122xx(1)不解方程,如何求方程的一个正的近似解.(精确到0.1)-4-20246810-3-2-1012345y=x^2-2x-112)(2xxxf解：设例1.不解方程，求方程X2-2X-1=0的一个正近似解xy1203y=x2-2x-1-1分析：设先画出函数图象的简图，12)(2xxxf如何进一步有效缩小根所在的区间？232.522.52.25第一步：得到初始区间（2，3）第二步：取2与3的平均数2.5第三步：再取2与2.5的平均数2.25如此继续取下去：若要求结果精确到0.1，则何时停止操作？23-+f(2)0，f(3)02x1322.53-+f(2)0，f(2.5)02x12.522.252.53-+f(2.25)0，f(2.5)02.25x12.522.3752.53-+f(2.375)0，f(2.5)02.375x12.522.3752.43753-+f(2.375)0，f(2.4375)02.375x12.4375∵2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,∴此方程的近似解为若要求结果精确到0.01，则何时停止操作？4.21x二、方法探究函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点如何找出这个零点？请看下面的表格：区间端点的符号中点的值中点函数值的符号（2，3）f(2)0,f(3)02.5f(2.5)0(2.5,3)f(2.5)0,f(3)02.75f(2.75)0(2.5,2.75)f(2.5)0,f(2.75)02.625f(2.625)0(2.5,2.625)f(2.5)0,f(2.625)02.5625f(2.5625)0(2.5,2.5625)f(2.5)0,f(2.5625)02.53125f(2.53125)0(2.53125,2.5625)f(2.53125)0,f(2.5625)02.546875f(2.546875)0(2.53125,2.546875)f(2.53125)0,f(2.546875)02.5390625f(2.5390625)0(2.53125,2.5390625)f(2.53125)0,f(2.5390625)02.53515625f(2.53515625)0表续二、方法探究(2)能否简述上述求方程近似解的过程?将方程的有根区间对分,然后再选择比原区间缩小一半的有根区间，如此继续下去，直到满足精度要求的根为止。(3)二分法（bisectionmethod）：像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：1、确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)0,给定精确度ε；2、求区间（a,b）的中点x1，3、计算f(x1)若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a).f(x1)0，则此时零点x0∈(a,x1)若f(x1).f(b)0，则此时零点x0∈(x1,,b)4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|ε则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4三、自行探究利用计算器，求方程的近似解(精确到0.1)x142)(xxfx42)(xxfx解:(法一)画出的图象，观察图象得，方程有惟一解，记为，且这个解在区间(1,2)内。-8-6-4-202468-3-2-101234三、自行探究区间端点函数值符号根所在区间中点值中点函数值符号(1,2)f(1)0,f(2)01.5f(1.5)0(1,1.5)f(1)0,f(1.5)01.25f(1.25)0(1.25,1.5)f(1.25)0,f(1.5)01.375f(1.375)0(1.375,1.5)f(1.375)0,f(1.5)01.4375f(1.4375)0(1.375,1.4375)f(1.375)0,f(1.4375)0因为1.375,1.4375精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程的近似解为x1≈1.442)(xxfx解：设三、自行探究(法二）画出g(x)=2x及h(x)=4-x的图象，观察图象得，方程2x+x=4有惟一解，记为x1，且这个解在区间(1,2)内。024681012-3-2-101234g(x)=2^xh(x)=4-x例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解：原方程即2x+3x=7，令f(x)=2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表和图象如下：x012345678f(x)-6-2310214075142273函数未命名.gsp图象因为f(1)·f(2)0所以f(x)=2x+3x-7在（1，2）内有零点x0,取（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)=0.33，因为f(1)·f(1.5)0所以x0∈（1，1.5）取（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)=-0.87，因为f(1.25)·f(1.5)0，所以x0∈（1.25，1.5）同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375），由于|1.375-1.4375|=0.0625〈0.1所以，原方程的近似解可取为1.4375思考：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？xyoxyo不行,因为不满足f(a)*f(b)0四、归纳总结用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解基本步骤：1、寻找解所在区间（1）图象法先画出y=f(x)图象，观察图象与x轴交点横坐标所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标所处的范围。把方程均转换为f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性），来判断解所在的区间。（2）函数性态法四、归纳总结若x∈(a,b),不妨设f(a)0,f(b)03、根据精确度得出近似解当x∈(m,n),且m,n根据精确度得到的近似值均为同一个值p时，则x≈p，即求得了近似解。2、不断二分解所在的区间2ba2ba(3)若f()=0,则x=2ba2ba(2)若f()0,由f(b)0,则x∈(,b)2ba2ba(1)若f()0,由f(a)0,则x∈(a,)对(1)、(2)两种情形再继续二分法所在的区间。五、课堂练习)1.0(0222精确到的较小的根的近似解利用计算器求方程xx-4-202468101214-4-3-2-10123456f(x)=x^2-2x-2区间端点函数值符号根所在区间中点值中点函数值符号f(-1)0,f(0)0(-1，0)-0.5f(-0.5)0f(-1)0,f(-0.5)0(-1,-0.5)-0.75f(-0.75)0f(-0.75)0,f(-0.5)0(-0.75,-0.5)-0.625f(-0.625)0f(-0.75)0,f(-0.625)0(-0.75,-0.625)-0.6875f(-0.6875)0f(-0.75)0,f(-0.6875)0(-0.75,-0.6875)-0.71875f(-0.71875)0f(-0.71875)0,f(-0.6875)0(-0.71875,-0.6875)课堂小结算法：如果一种计算方法对某一类问题（不是个别问题）都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到惟一的结果，我们常把这类问题的求解过程叫做解决这类问题的一种算法。算法特点：算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，但它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果。更大的优点是它可以让计算机来实现。谢谢大家，再见！借助计算器或计算机，用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间（0，1）内的近似解（精确度0.1）1.二分法的定义；2.用二分法求函数零点近似值的步骤。3.作业：p100第2题