一元微积分试卷及答案

装订线-1-一、单项选择题1.设01x，21arcsin)(xxf，则)(xf（C）A．211xxB.211xxC.211xD.211x2.当1x时，函数11211)(xexxxf的极限为（D）A.2B.0C.D.不存在但不是3.设232)(xxxf，则当0x时，有（B）A.)(xf是x的等价无穷小B.)(xf与x是同阶但非等价无穷小C.)(xf是比x高阶的无穷小D.)(xf是比x低阶的无穷小4.函数1ln)(xxf的导数是（B）A.11xB.11xC.x11D.1,111,11)(xxxxxf5.设1)()()(lim2axafxfax，则在ax处（B）A.)(xf的导数存在，且0)(af。B.)(xf取得极大值。C.)(xf取得极小值。D.)(xf的导数不存在。6.设在10，区间0)(xf，则下列不等式的大小关系正确的是（B）A.)0()1()0()1(ffffB.)0()0()1()1(ffffC.)0()1()0()1(ffffD.)0()1()0()1(ffff7.若)0(1)(2xxxf，且2)1(f，则)(xf（C）A.x2B.2ln21xC.x2D.x18.设401tanIdxxx，402tanIdxxx，则（B）A.121IIB.211IIC.112IID.121II二、填空题1．设2)(xxxf，0,0,)(2xxxxx，则)]([xf0,0,02xxx装订线-2-2．设函数0),cos(sin0,2)(xxxexaxxfx在),(连续，则a1.3．若0)(af，1)(af，则)1(limnanfn-1.4．求极限2)(lim22xnaxaxae2.5．不定积分dxxfx)(cxfxfx)()(.三、解答题1.求极限xxxxxcba10)3(lim,(0,0,0cba)解：设xxxxcbay1)3(，xxxxcbaxy1)3ln(1lnxxxxxxcbaxy100)3ln(1limlnlim3lnlnln3lim0ccbbaacbaxxxxxxx＝3ln3lnlnlnabccba30limabcyx2.已知0333axyyx（a为常数），求dxdy.解：0)(33322yxyayyx022yaxayyyxaxyxayy223.已知tytx122,求22dxyd.解：txydxdytt1322211)()(tttdtdxdtdxdyddxdxdyddxyd装订线-3-4.求不定积分dxxx1002)1(.解：dxxx1002)1(＝）（1)1(2121002xdx＝cx101)1211012（＝cx202)11012（5.求极限)1()21)(11ln(1limnnnnnn解：原式＝10)1ln(dxx＝dxxxxx10101)1ln(=2lndxx10)111(=10)1ln(12lnx=12ln2四、叙述拉格朗日中值定理，并验证函数12ln,1()11,13xxefxxx在区间3e1，上满足拉格朗日中值定理的条件。解：拉格朗日中值定理叙述如下：设()fx在闭区间ba,上连续，在开区间,ab内可导，则,ab，使得fbfafba下面验证()fx满足拉格朗日定理的条件：因1211fff，故()fx在1e1，上连续。又因111ff，故()fx在1e1，可导。五、设D是由22xy及0y，ax)0(a所围成的平面图形，求D绕y轴旋转而成的旋转体体积V解：220222)2(adyyaaV＝2202442aya＝4a六、作出函数21xxy的图形。解：1.定义域),(2.奇函数，图像关于原点对称3.21limxxx021limxx，0y为水平渐近装订线-4-线。4.222)1(1xxy，0)1(y322)1()3(2xxxy，0)3(y5.x0(0,1)1)3,1(3),3()(fx++0---)(fx0---0+)(xf拐点增凸极大值减凸拐点减凹