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1数列求和的基本方法归纳知识点一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式:dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式:)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个)(1naa.四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:(1))()1(nfnfan(2)nnnntan)1tan()1cos(cos1sin(3)111)1(1nnnnan(4))121121(211)12)(12()2(2nnnnnan(5)])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则练习题1、已知3log1log23x,求nxxxx32的前n项和.22求和:132)12(7531nnxnxxxS3、求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.4、求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值35、求数列的前n项和:231,,71,41,1112naaan,…6、求数列,11,,321,211nn的前n项和.7、在数列{an}中,11211nnnnan,又12nnnaab,求数列{bn}的前n项的和.41、解:由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32(利用常用公式)=xxxn1)1(=211)211(21n=1-n212、解:由题可知,{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432……………………….②(设制错位)①-②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432(错位相减)再利用等比数列的求和公式得:nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn3、解:由题可知,{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………………………………①14322226242221nnnS………………………………②①-②得1432222222222222)211(nnnnS1122212nnn∴1224nnnS4、解:设89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S………..②又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S=89∴S=44.555、解:设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn当a=1时,2)13(nnnSn=2)13(nn当1a时,2)13(1111nnaaSnn=2)13(11nnaaan6、解:设nnnnan111则11321211nnSn=)1()23()12(nn=11n7、解:∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn=)111(8n=18nn6等比数列知识点:1、定义:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列;这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,表达式为:qaann1)2(n;2、如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且abG;3、等比数列}{na的通项:4、等比数列}{na的前n项和:5、等比数列的性质:⑴若qpnm,则qpnmaaaa特别的,当2mnk时,得2nmkaaa注:12132nnnaaaaaa⑵等比数列}{na中连续项的和构成等比数列,nnnnnSSSSS232,,……⑶等比数列}{na中①三个数aq,a,aq②四个数aq3,aq,aq,3aq练习题1.已知等比数列}{na中1nnaa,且37283,2aaaa,则117aa()A.21B.23C.32D.22.已知等比数列}{na的公比为正数,且3a·9a=225a2a=1,则1a=()A.21B.22C.2D.23.在等比数列}{na中,,8,1685aa则11a()7A.4B.4C.2D.24.设等比数列{na}的前n项和为nS,若63SS=3,则69SS=()(A)2(B)73(C)83(D)35.已知等比数列的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学计算得到S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为()A.S1B.S2C.S3D.S46.若na是等比数列,前n项和21nnS,则2222123naaaa()A.2(21)nB.21(21)3nC.41nD.1(41)3n7.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则221baa_______.8.已知等差数列{an},公差d0,431aaa,,成等比数列,则18621751aaaaaa=9.等比数列{na}的公比0q,已知2a=1,216nnnaaa,则{na}的前4项和4S=10.在等比数列{}na中,12236,12,naaaaS为数列{}na的前n项和,则22010log(2)S.11.已知等比数列,83,12}{83aaan满足记其前n项和为.nS(1)求数列}{na的通项公式na;(2)若.,93nSn求12.已知等比数列na的公比1q,42是1a和4a的一个等比中项,2a和3a的等差中项为6,若数列nb满足2lognnba(n*N).(Ⅰ)求数列na的通项公式;(Ⅱ)求数列nnab的前n项和nS.8答案1.D2.B3.A4.B5.C6.D7.258.1189.15210.2011三、解答题11.解析:(1)设等比数列}{na的公比为q,则,83,12718213qaaqaa解得,21,481qa…………4分所以.)21(48111nnnqaa…………5分(2)])21(1[96211])21(1[481)1(1nnnnqqaS…………8分由.5,93])21(1[96,93nSnn解得得12.解:(Ⅰ)因为42是1a和4a的一个等比中项,所以214(42)32aa.由题意可得232332,12.aaaa因为1q,所以32aa.解得234,8.aa所以322aqa.故数列na的通项公式2nna.(Ⅱ)由于2lognnba(n*N),所以2nnnabn.231122232(1)22nnnSnn.①23121222(1)22nnnSnn.②①-②得231122222nnnSn12(12)212nnn.所以11222nnnSn9
本文标题:数列求和的基本方法归纳
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