Lyapunov稳定性分析

第八章Lyapunov稳定性分析目录8.1概述8.2Lyapunov意义下的稳定性问题8.3Lyapunov稳定性理论8.4线性定常系统的Lyapunov稳定性分析第八章Lyapunov稳定性分析8.1概述线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。8.2Lyapunov意义下的稳定性问题对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。第八章Lyapunov稳定性分析本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。8.2.1平衡状态、给定运动与扰动方程之原点任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。这种所谓“原点稳定性问题”，由于使问题得到极大简化，又不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。()tx(,)ftxx(0,)0ft0ex第八章Lyapunov稳定性分析8.2.2Lyapunov意义下的稳定性定义下面首先给出Lyapunov意义下的稳定性定义，然后回顾某些必要的数学基础，以便在下一小节具体给出Lyapunov稳定性定理。（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹;（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹;（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹第八章Lyapunov稳定性分析经典控制理论(线性系统)不稳定(Re(s)0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)0)Lyapunov意义下不稳定稳定渐近稳定线性系统稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念第八章Lyapunov稳定性分析8.3Lyapunov稳定性理论1892年，A.M.Lyapunov提出了两种方法（称为第一法和第二法），用于确定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤，也称为间接法。第二法不需求出微分方程的解，也就是说，采用Lyapunov第二法，可以在不求出状态方程解的条件下，确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难，因此这种方法显示出极大的优越性。第二法也称为直接法第八章Lyapunov稳定性分析8.3.1Lyapunov第一法基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性。设非线性系统的状态方程为其中为Jacobian矩阵(,)ftxx111122221212(,)nnTnnnnfffxxxfffftxxxfffxxxnnxAx第八章Lyapunov稳定性分析Lyapunov证明了三个定理，给出了明确的结论。这些定理为线性化方法奠定了理论基础，从而具有重要的理论与实际意义。定理3.1(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态总是渐近稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。定理3.2(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵的特征值中，至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态总是不稳定的。定理3.3(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵实部为零的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态的稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方程来表征原非线性系统的稳定性了。第八章Lyapunov稳定性分析Lyapunov证明了三个定理，给出了明确的结论。应该指出，这些定理为线性化方法奠定了理论基础，从而具有重要的理论与实际意义。定理8.1(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态总是渐近稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。定理8.2(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵的特征值中，至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态总是不稳定的。定理8.3(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵实部为零的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态的稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方程来表征原非线性系统的稳定性了。第八章Lyapunov稳定性分析8.3.2Lyapunov第二法由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数为负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。Lyapunov第二法是建立在更为普遍意义的基础上的，即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数（其构造可能十分困难）。第八章Lyapunov稳定性分析第八章Lyapunov稳定性分析常数V圆和典型轨迹定理是Lyapunov第二法的基本定理，下面对这一重要定理作如下几点说明。(1)这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了Lyapunov函数，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。(2)对于渐近稳定的平衡状态，则Lyapunov函数必存在。第八章Lyapunov稳定性分析(3)对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。(4)我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。8.3.3线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。第八章Lyapunov稳定性分析8.4线性定常系统的Lyapunov稳定性分析考虑如下线性定常自治系统x=Ax式中。假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态xd=0，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。,nnnRRxA第八章Lyapunov稳定性分析