第5讲-微分方程建模

信息与计算科学系第6章微分方程建模数学建模算法与应用信息与计算科学系3数学建模美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少?6.4放射性废料的处理6.4.1问题的提出信息与计算科学系4数学建模已知圆桶质量m239.46kg，体积V0.2058m3，海水密度1035.71kg/m3，若圆桶速度小于12.2m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数0.6k。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题（1）判断这种处理废料的方法是否合理?（2）一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用kv来代替k，那么这时速度与时间关系如何?并求出当速度不超过12.2m/s，圆桶的运动时间t和位移s应不超过多少?(k的值仍设为0.6)信息与计算科学系5数学建模6.4.2模型的建立与求解1.问题一的模型首先要找出圆桶的运动规律，由于圆桶在运动过程中受到本身的重力以及水的浮力H和水的阻力f的作用，所以根据牛顿运动定律得到圆筒受到的合力F满足FGHf，（6.29）信息与计算科学系6数学建模又因为22dvdsFmammdtdt，Gmg，HgV以及dsfkvkdt，可得到圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程22dsdsmmggVkdtdt，（6.30）dvmmggVkvdt.（6.31）信息与计算科学系7数学建模22dsdsmmggVkdtdtdvmmggVkvdt信息与计算科学系8数学建模subs是赋值函数，用数值替代符号变量替换函数例如:输入subs(a+b,a,4)意思就是把a用4替换掉，返回4+b也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分别用字符alpha替换a和2替换b，返回cos(alpha)+sin(2)vpa函数是什么意思？除了利用MATLAB的help还可以借助于网络资源.信息与计算科学系9数学建模信息与计算科学系10数学建模信息与计算科学系11数学建模0.0025056()171510.9924429.7444171510.9924tstte信息与计算科学系12数学建模simplify和simple是Matlab符号数学工具箱提供的两个简化函数，区别如下：simplify的调用格式为：simplify(S)；对表达式S进行化简。simple是通过对表达式尝试多种不同的方法（包括simplify）进行化简，以寻求符号表达式S的最简形式。信息与计算科学系13数学建模根据方程（6.30），加上初始条件000ttdssdt，求得位移函数为0.0025056()171510.9924429.7444171510.9924tstte.（6.32）由方程（6.31），加上初始条件00tv，求得速度函数为0.0025056()429.7444429.7444tvte.（6.33）信息与计算科学系14数学建模由()90stm，求得圆筒到达水深90m的海底需要时间12.9994ts，再把它带入方程（6.33），求出圆桶到达海底的速度为13.7720m/sv。显然此圆桶的速度已超过12.2/ms，可以得出这种处理废料的方法不合理。因此，美国原子能委员会已经禁止用这种方法来处理放射性废料。信息与计算科学系15数学建模已知圆桶质量m239.46kg，体积V0.2058m3，海水密度1035.71kg/m3，若圆桶速度小于12.2m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数0.6k。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题（2）一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用kv来代替k，那么这时速度与时间关系如何?并求出当速度不超过12.2m/s，圆桶的运动时间t和位移s应不超过多少?(k的值仍设为0.6)信息与计算科学系16数学建模2.问题二的模型由题设条件，圆桶受到的阻力应改为22()dsfkvkdt，类似问题一的模型，可得到圆桶的速度应满足如下的微分方程2dvmmggVkvdt，（6.34）信息与计算科学系17数学建模信息与计算科学系18数学建模信息与计算科学系19数学建模根据方程（6.34），加上初始条件00tv，求出圆桶的速度()20.7303tanh(0.0519)vtt，这时若速度要小于12.2/ms，那么经计算可得圆桶的运动时间就不能超过13.0025Ts，利用位移0()()TsTvtdt，计算得位移不能超过84.8438m。通过这个模型，也可以得到原来处理核废料的方法是不合理的。信息与计算科学系20数学建模3.结果分析由于在实际中k与v的关系很难确定，所以上面的模型有它的局限性，而且对不同的介质，比如在水中与在空气中k与v的关系也不同。如果假设k为常数的话，那么水中的这个k就比在空气中对应的k要大一些。在一般情况下，k应是v的函数，即()kkv，至于是什么样的函数，这个问题至今还没有解决。这个模型还可以推广到其它方面，比如说一个物体从高空落向地面的道理也是一样的。尽管物体越高，落到地面的速度越大，但决不会无限大。信息与计算科学系21数学建模Matlab的工具箱提供了几个解常微分方程的功能函数，如ode45，ode23，ode113，其中ode45采用四五阶龙格库塔方法（以下简称RK方法），是解非刚性常微分方程的首选方法，ode23采用二三阶RK方法，ode113采用的是多步法，效率一般比ode45高。6.5初值问题的Matlab数值解信息与计算科学系22数学建模例6.7用RK方法求解2'222yyxx，(00.5)x，(0)1y.信息与计算科学系23数学建模数学建模竞赛赛题讲评信息与计算科学系24数学建模全国大学生数学建模竞赛中国大学生数学建模竞赛02004006008001000120014001600199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006200720082009年份校数0200040006000800010000120001400016000队数校数队数•1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织.•1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月).•全国高校规模最大的学科竞赛信息与计算科学系25数学建模内容•赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题•答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文形式•3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛•可使用任何“死”材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论宗旨创新意识团队精神重在参与公平竞争标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性信息与计算科学系26数学建模年份A题B题C题D题2004奥运会临时超市网点设计电力市场的输电阻塞管理饮酒驾车公务员招聘2005长江水质的评价和预测DVD在线租赁雨量预报方法的评价DVD在线租赁2006出版社的资源配置艾滋病疗法的评价和疗效的预测易拉罐形状和尺寸的最优设计煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制2007中国人口增长预测乘公交，看奥运手机“套餐”优惠几何体能测试时间安排2008数码相机定位高等教育收费标准探讨地面搜索NBA赛程的分析与评价2009制动器试验台的控制方法分析眼科病床的合理安排卫星和飞船的跟踪测控会议筹备2010储油罐的变位识别与罐容表标定上海世博会影响力定量评估输油管的布置学生宿舍设计方案评价信息与计算科学系27数学建模题目的特点•题目来源:实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题•题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深•题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容•解题所用的数学方法尽量多元化、综合化•可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献•兼顾数据的处理与数据的收集基础性实践性综合性开放性挑战性信息与计算科学系28数学建模A题：中国人口增长预测信息与计算科学系29数学建模题目分析：题目属于那种类型：连续的、离散的？需要解决什么问题；最优化方案、预测模型、最短路径等等；可以用哪些相关模型、算法求解、需要什么数学工具；论文写作：（1）问题提出和假设的合理性论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达;所提出的假设确实是建立数学模型所必需的;假设应验证其合理性.信息与计算科学系30数学建模（2）模型的建立在作出假设后，我们就可以在论文中引进变量及其记号，抽象而确切地表达它们的关系，通过一定的数学方法，最后顺利地建立方程式或归纳为其他形式的数学问题，把得到数学模型的过程表达清楚，使读者获得判断模型科学性的一个依据.信息与计算科学系31数学建模（3）模型的计算与分析把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析.在数值求解时应对计算方法有所说明，并给出所使用软件的名称或者给出计算程序（通常以附录形式给出）.还可以用计算机软件绘制曲线和曲面示意图，来形象地表达数值计算结果。基于计算结果，可以用由分析方法得到一些对实践有所帮助的结论.信息与计算科学系32数学建模（4）模型的讨论对所作的数学模型，可以作多方面的讨论.例如可以就不同的情景，探索模型将如何变化.或可以根据实际情况，改变文章一开始所作的某些假设，指出由此数学模型的变化.还可以用不同的数值方法进行计算，并比较所得的结果.有时不妨拓广思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化.通常，应该对所建立模型的优缺点加以讨论比较，并实事求是地指出模型的使用范围.信息与计算科学系33数学建模2007A题近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。信息与计算科学系34数学建模实际或竞赛的建模问题课程学习与培训中的数学建模案例引用案例借鉴案例类比、引用和借鉴是很有效的方法：现状！数学建模方法=创造性的本质方法+模型类比方法数学建模=数学荐模+数学引模——一种初步实用的，基于类比与经验的方法但是：信息与计算科学系35数学建模Logistic模型(阻滞增长模型)基于Logistic模型，建立了含市、镇、乡人口相互流动关系的微分方程模型，求得全国总人口数在短期内将持续增长，到2010年、2020年分别为13.59亿和14.44亿，具有较好的中短期预测效果.1.中国人口增长的中短期预测信息与计算科学系36数学建模从网上可查得2000-2005年的总人数如下表1表1年份/年总人数/万2000126583200112762720021284532003129227200412998820051307562006131448(1)数据预处理信息与计算科学系37数学建模题中所给5年我国人口1%调查数