数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用

向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用装订线ABSTRACTAsoneoftheimportantsignsofmodernmathematicsthevectorhasenteredmiddleschoolmathematicsteaching,usingalgebraicmethodresearchgeometryproblemsprovidespowerfultools,promotedthehighschoolofthegeometryofalgebra.Andinthehighschoolmathematicssystem,geometricoccupiesaveryimportantposition,somegeometryproblemswithconventionalmethodtosolvetendtobecomplex,usingvectorforthenumberofrowsandtransformation,makestheprocessisgreatlysimplified.Vectormethodwasusedtheplanegeometry,itwillbewhentheplanegeometrymanyproblemsalgebraeffectively,programmedtosolve,reflectedinmathematics,theperfectcombinationofNumbersandforms.Three-dimensionalgeometryofteninvolvedthetwobigproblems:proofandcalculation,withspacevectorsolvethree-dimensionalgeometryintheseproblems,itsunique,isusingvectortodealwiththeproblemofspace,fadethetraditionalmethodsareformtoformreasoningprocess,causestheproblem-solvingbecomeprogrammed.Keywords：Vector;solidgeometry;proof;calculation;use合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）目录摘要............................................ⅠABSTRACT............................................Ⅰ1向量方法在研究几何问题中的作用.....................12向量方法解决证明问题的直接应用.....................22.1平行问题......................................22.1.1证明两直线平行...........................22.1.2证明线面平行.............................32.2垂直问题......................................42.2.1证明两直线垂直...........................42.2.2证明线面垂直.............................42.2.3证明面面垂直.............................52.3处理角的问题..................................62.3.1求异面直线所成的角........................62.3.2求线面角.................................72.3.3求二面角.................................83向量方法解决度量问题的直接应用....................103.1两点间的距离..................................103.2点与直线距离..................................103.3点到面的距离..................................113.4求两异面直线的距离............................113.5求面积........................................12合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）3.6求体积........................................134向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用..........145向量在立体几何中应用的教学反思....................215.1对比综合法与向量法的利弊......................215.2向量法解决立体几何问题的步骤..................225.3向量法能解决所有立体几何问题吗................22参考文献............................................23合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）1向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）2向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行baCDABbDCaBA//,,;,.知),(),,(2211yxCDyxAB，则有bayxyx//1221.例1已知直线OA平面，直线BD平面，O、B为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O为原点，以射线OA为z轴，建立空间直角坐标系xyzO，kji,,为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设),,(zyxBD，∵BD，∴jBDiBD,∴0)0,0,1(),,(xzyxiBD，0)0,1,0(),,(yzyxjBD，∴),0,0(zBD∴kzBD，又知O、B为两个不同的点，∴OABD//.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）2.1.2证明线面平行1、线a面，aBA,，面的法向量为n，//0ABnABnAB.方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面外的直线a的方向向量为a，21,ee是平面的一组基底（不共线的向量），若//2211aeea.例2如上图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,P、Q分别是对角线AC、BF上的一点,且AP=FQ,求证:PQ∥平面BCE.证明：设ACAP，∵AP=FQ,∴FBFQ，∴FQAFPAPQ=FBBEAC=ABBEBEBCAB=BEBC)1(∴//PQ平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面与的法向量分别是m和n，//nm.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）2、不重合的两平面与，面的法向量为m，若//m.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则有baba0.例3如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB//CD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点.证明：PEBC证明：以H为原点，,,HAHBHP分别为,,xyz轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)AB设(,0,0),(0,0,)(0,0)CmPnmn，则)0,2,21(),0,,0(mEmD，可得)0,1,(),,2,21(mBCnmPE，因为0022mmPEBC，所以PEBC.2.2.2证明线面垂直直线l的方向向量为a]4[，平面的方向向量为m，则有lma.例4，如图，m,n是平面内的两条相交直线.如果nlml,，求证：l.证明：在内作任一直线g，分别在gnml,,,上取非零向量gnml,,,.合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）因为m与n相交，所以向量nm,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y）,使nymxg将上式两边与向量l作数量积，得nlymlxgl，因为0,0nlml，所以0gl，所以gl即gl.这就证明了直线