§1.1.1正弦定理第二课时

2020/3/8§1.1.1正弦定理第二课时2020/3/8正弦定理：CcBbAasinsinsinR2CRcBRbARasin2,sin2,sin2CBAcbasin:sin:sin::RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin变形：2020/3/8A解:(1)由正弦定理得:1130sin2sinsinaAbB又),0(B,所以2B即△ABC有一解.（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，则（）A、有一解B、有两解C、无解D、不能确定ABC探究问题一三角形解的个数:（2）已知中,A=30°,a=，b=2，则（）A、有一解B、有两解C、无解D、不能确定ABC2B解:(２)由正弦定理得:22230sin2sinsinaAbB又00＜B＜1800,b＞a,B＞300∴0013545或B即△ABC有两解.ＡＢＣa=bsinAbＡＢ１Ｂ２Ｃab2020/3/8（3）已知△ABC中,A=30°,a=，b=2，则（）A、有一解B、有两解C、无解D、不能确定解:(３)由正弦定理得:122130sin2sinsinaAbB即△ABC无解.所以Ｂ无解12C总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,两解,无解?ＡＣab2020/3/82020/3/8已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．课本P8-9absinA无解a=bsinA一解bsinAab两解一解a≥bab一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab1、Ａ为锐角2、Ａ为直角或钝角2020/3/8babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH⑴若A为锐角时:)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba练习：已知△ABC中，A=30°，a=m，c=10，有两解，则m范围是。解:cmAcsin即105mＡＢcm2020/3/8⑵若A为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解babaACbaAC说明：已知两边及其中一边的对角（SSA）判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a＝b无解无解一解ab无解无解absinA两解a＝bsinA一解absinA无解2020/3/8练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=300(2)c=54,b=39,C=1200(3)b=26,c=15,C=300(4)a=2,b=6,A=300两个一个两个无解2020/3/8.ABBDABCADBACACDC在中，是的平分线，交BC于D,用正弦定理证明：ACBD0180探究问题二利用正弦定理证明两个结论1.三角形内角平分线定理的证明：证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，得两式相除得三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。2020/3/82.在三角形中，角的大小和正余弦值大小的关系sinsinABCABAB在中，若(2)ABC20,sinsin2sin2sinAB,sinsinabRABaRAbRBabAB证明：在中，由正弦定理得，，又，coscosABCABAB在中，若＞例1、在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm,A=400求角B、C(精确到1)和边c（保留两个有效数字）.0sin28sin40sin0.899920bABa解：001264,116.BB.76)4064(180)(180,64000010101ABCB时当.3040sin76sin20sinsin0011ACac.24)40116(180)(180,116000020202ABCB时当.1340sin24sin20sinsin0022ACac探究问题三利用正弦定理进行边角互化2020/3/8解：由正弦定理，得2R,sinAa令RsinCcRsinB,b2RsinA,a22代入已知条件，得：cosCsinCcosBsinBcosAsinAtanCtanBtanA即C,BAπ),(0,CB,又A,形。从而ΔABC为正三角cosAcosBcosCabcABCABC例2.在中，已知,试判断的形状.点评判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．探究问题四三角形形状的判断判断三角形形状的两种途径2020/3/8变式训练1．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acosC，试判断△ABC的形状．解：∵b＝acosC，由正弦定理得：sinB＝sinA·cosC.∵B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinA·cosC.即sinAcosC＋cosAsinC＝sinA·cosC，∴cosAsinC＝0，∵A、C∈(0，π)，∴cosA＝0，∴A＝π2，∴△ABC为直角三角形．2020/3/8变式训练2.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．解：在△ABC中，由正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(a2R)2＝(b2R)2＋(c2R)2，分析：利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断△ABC的形状．即a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°.由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝12.∵B是锐角，∴sinB＝22，∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．探究问题（五）三角恒等式的证明222222222222222222220sinsinsin4(sinsin)4(coscos)4(coscos)c4(coscos),=4[(coscos)(coscos)(coscos)]=0=abcRABCabRABRBAbcRCBaRACRBACBAC证明：同理可得左边右边2222220.coscoscoscoscoscosabbccaABCABBCCA例3.在中，求证：2020/3/8(sinsin)(sinsin)(sinsin)0.ABCaBCbCAcAB变式训练3、在中，求证：20sinsinsin2sin,2sin,c2sinC=2sinsin-sinC+2sinsin-sin)2sinCsin-sin)2sinsin2sinsin2sinsin2sinsin2sinsin2sinsin=0=.abcRABCaRAbRBRRABRBCARABRABRACRBCRABRCARCB证明：左边（）（（右边原等式成立2020/3/8本节小结:(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具;(2)两类问题：一类已知两角和一边；另一类是已知两边和一边的对角；(3)注意正弦定理的变式；(4)180.注意内角和为的应用，以及角之间的转化这一类问题要注意解的个数的判断。说明：应用正弦定理解三角形时应注意挖掘的三个隐含条件(1)在△ABC中，a＋bc，|a－b|c；AB⇔sinAsinB，AB⇔cosAcosB；ab⇔AB；sinA＋sinBsinC.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；A＋B2＝π2－C2⇒sinA＋B2＝cosC2.(3)若△ABC为锐角三角形，则A＋Bπ2，A＋Cπ2，B＋Cπ2；A＋Bπ2⇔Aπ2－B⇔sinAcosB，cosAsinB.22222222sinAsinsinAcosBsinAcosBsinA=cosAsinBcosAsinBsinsinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B2A2B2A+2B=ABA+B=2abBabBABC解：由正弦定理得又，，即得或，即或，为等腰三角形或直角三角形的形状。，判断中，若思考题：在ABCBABAbaABCsincoscossin22注意：若sin2A＝sin2B，则A＝B，或A＋B＝π2.