§1.6三角函数模型的简单应用ppt课件

§1.6本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6【学习要求】会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【学法指导】三角函数是刻画周期现象的重要模型，利用三角函数模型解决实际问题时，要注意充分依据收集的数据，画出“散点图”，观察“散点图”的特征，当“散点图”具有波浪形的特征时，可以考虑应用正、余弦函数进行拟合.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6填一填·知识要点、记下疑难点1．三角函数的周期性y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____；y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____；y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____.2π|ω|2π|ω|π|ω|本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6填一填·知识要点、记下疑难点2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)的性质(1)ymax＝，ymin＝.(2)A＝，k＝.(3)ω可由确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝，ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝，ωx4＋φ＝，ωx5＋φ＝中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.A＋k－A＋kymax－ymin2ymax＋ymin2ω＝2πT0π2π32π2π周期本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效探究点一利用基本三角函数的图象研究其它函数一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到．例如：(1)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”．(2)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝f(|x|)的图象，应保留y＝f(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效例如，作出函数y＝|sinx|的图象，根据图象判断其周期并写出单调区间．答函数y＝sinx位于x轴上方的图象不动，位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sinx|的图象，如下图所示：根据图象可知，函数y＝|sinx|的周期是π，函数在区间kπ，kπ＋π2，k∈Z上递增；在区间kπ－π2，kπ，k∈Z上递减．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效探究点二利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在．潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．例如，如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝sin(ωx＋φ)＋b.根据图象可知，一天中的温差是；这段曲线的函数解析式是y＝．20℃10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效探究点三三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝1T＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效例如，一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是：s＝6sin2πt＋π6.(1)画出它的图象；(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T＝2π2π＝1(s)本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效t01651223111212πt＋π6π6π2π3π22π2π＋π66sin2πt＋π6360－603列表：描点、连线，如下图所示：(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3cm.②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm.③小球来回摆动一次需要1s(即周期)．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效【典型例题】例1(1)作出函数y＝|cosx|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间．(2)作出函数y＝sin|x|的图象并判断其周期性．解(1)y＝|cosx|图象如图所示．由图象可知：T＝π；y＝|cosx|是偶函数；单调递增区间为[－π2＋kπ，kπ]，k∈Z，单调递减区间为[kπ，π2＋kπ]，k∈Z.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效(2)∵sin(－x)＝－sinx，∴y＝sin|x|＝sinxx≥0，－sinxx0.∴其图象如图．由图象可知，函数y＝sin|x|不是周期函数．小结结合三角函数图象的特点，一般地有以下结论：①y＝|sinx|的周期是π；②y＝|cosx|的周期是π；③y＝|tanx|的周期是π；④y＝|Asin(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是π|ω|；⑤y＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(Aωk≠0)的周期是2π|ω|.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1求下列函数的周期：(1)y＝|sin2x|；(2)y＝sin12x＋π6＋13；(3)y＝|tan2x|.解(1)T＝π2；(2)T＝2π12＝4π；(3)T＝π2.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效例2交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．解(1)当t＝0时，E＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏．(2)T＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏．当100πt＋π6＝π2，即t＝1300秒时第一次取得最大值．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效小结三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)|φ|π2在同一周期内的图象．(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段1100的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效解(1)由题图知，A＝300，t1＝－1300，t2＝1150，∵T＝2(t2－t1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt1＋φ＝0知φ＝－ωt1＝π3，∴I＝300sin(100πt＋π3)．(2)问题等价于T≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效例3某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝2πT＝π6.又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝12(ymax－ymin)＝3，B＝12(ymax＋ymin)＝10.∴函数的解析式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sinπ6t＋10≥11.5，t∈[0,24]，∴sinπ6t≥12，π6t∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6，k＝0,1，∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．小结确定函数关系式y＝Asinωt＋B(A0)，就是确定其中的参数A，ω，B等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M，最小值为m，则A＝M－m2，B＝M＋m2.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6研一研·问题探究、课堂更高效经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A．y＝12＋3sinπ6t，t∈[0,24]B．y＝12＋3sinπ6t＋π，t∈[0,24]C．y＝12＋3sinπ12t，t∈[0,24]D．y＝12＋3sinπ12t＋π2，t∈[0,24]解析在给定的四个选项A、B、C、D中我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.A本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.61．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根练一练·当堂检测、目标达成落实处C本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6练一练·当堂检测、目标达成落实处2．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()解析d＝f(l)＝2sinl2.C几何画板演示本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.6练一练·当堂检测、目标达成落实处3．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cosglt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝____