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-1-福建省福州市2011届高三上学期期末质量检查数学试题(理科)一、选择题(每小题5分,满分60分)1.已知集合2{|1,},{|1,},MyyxxRNyyxxRMN则等于()A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}C.{|12}yyy或D.{|1}yy2.设复数2122zizz则等于()A.-3B.3C.3iD.3i3.如图是歌手大奖赛中,七位评委为甲,乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0—9中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,aa,则一定有()A.12aaB.21aaC.12aaD.12,aa的大小不确定4.已知实数,xy满足12,0xyxyxy则的最小值为()A.2B.3C.4D.55.若双曲线22221xyab的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为()A.5B.5C.2D.26.设函数()sin()(0,0)2fxx的部分图象如图所示,直线6x是它的一条对称轴,则函数()fx的解析式为()A.()sin()3fxxB.()sin(2)6fxxC.()sin(4)3fxxD.()sin(2)6fxx-2-7.已知实数,,,abcd成等比数列,且函数ln(2)yxxxb当时取到极大值c,则ad等于()A.-1B.0C.1D.28.如图所示,正方形的四个顶点分别为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)OABC,曲线2yx经过点B。现将一个质点随机投入正方形中,则质点落在图中阴影区域的概率是()A.12B.14C.13D.259.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是(012),4amam,不考虑树的粗细,现在用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD。设此矩形花圃的面积为Sm2,S的最大值为()fa,若将这棵树围在花墙内,则函数()afa的图象大致是()10.在ABC中,“ABACBABC”是“||||ACBC”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.定义:平面内横坐标为整数的点称为“左整点”,过函数29yx图象上任意两个“左整点”作直线,则倾斜角大于45的直线条数为()A.10B.11C.12D.1312.设函数()yfx的定义域为实数集R,对于给定的正数k,定义函数()(())()(())kfxfxkfxkfxk,给出函数2()2fxx,若对于任意的(,)x,恒有()()kfxfx,则()-3-A.k的最大值为2B.k的最小值为2C.k的最大值为1D.k的最小值为1二、填空题(每小题4分,满分16分)13.在二项式52axx的展开式中,x纱数是-10,则实数a的值为。14.在ABC中,5,3,sin2sinBCACCA,则AB的长为。15.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则如图所示,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16,当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为。16.设()fx是定义在R上的奇函数,且(2)0,0fx当时,有2()()0xfxfxx恒成立,则不等式2()0xfx的解集为。三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.(本小题满分12分)数列{}na是首项为2,公差为1的等差数列,其前n项的和为.nS(Ⅰ)求数列{}na的通项公式na及前n项和nS;(Ⅱ)设2nanb,求数列{}nb的通项公式nb及前n项和.nT18.(本小题满分12分)已知函数2()2sin23sinsin()(0)2fxxxx的最小正周期为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数()fx在区间2[0,]3上的取值范围。19.(本小题满分12分)一个袋子内装有若干个黑球,3个白球,2个红球(所有的球除颜色外其它均相同),从中一次性任取2个球,每取得一个黑球得0分,每取一个白球得1分,每取一个红球得2分,用随机变-4-量表示取2个球的总得分,已知得0分的概率为1.6(Ⅰ)求袋子内黑球的个数;(Ⅱ)求的分布列与期望。20.(本小题满分12分)某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其它费用组成,已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其它费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。(Ⅰ)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数;[来源:学科网](Ⅱ)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?21.(本小题满分12分)如图,ADB为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且ODAB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;(Ⅱ)过点B的直线l与曲线C交于M、N两点,与OD所在直线交于E点,若1212,,:EMMBENNB求证为定值。22.(本小题满分14分)已知函数32()fxxaxbxc在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数()fx在R上有三个零点,且1是其中一个零点。(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求(2)f的取值范围;(Ⅲ)设()1gxx,且()()fxgx的解集为(-∞,1),求实数a的取值范围。-5-参考答案一、选择题(每小题5分,满分60分)1.D2.A3.B4.A5.A6.D7.A8.C9.C10.C11.B12.B二、填空题(每小题4分,满分16分)13.114.2515.6,4,1,716.(-∞,-2)∪(0,2)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)依题意:2(1)1nann2分(1)212nnnSn=2322nn4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知4211ab5分111222nnaannnbbb是首项为4,公比为2的等比数列7分11422nnnb9分24(12)2412nnnT12分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)[来源:学科网]()1cos223sincosfxxxx1cos23sin2xx2分3sin2cos21xx2sin(2)16x5分因为函数()fx的最小正周期为π,且0,所以2ππ2,解得1.7分-6-(Ⅱ)由(Ⅰ)得1)62sin(2)(xxf因为2π03x≤≤,所以ππ7π2666x≤≤,9分所以1πsin2126x≤≤,因此31)62sin(20x,即()fx的取值范围为]3,0[.12分19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设袋中黑球的个数为n,由条件知,当取得2个黑球时得0分,概率为:2251(0)6nnCpC2分化简得:2340nn,解得4n或1n(舍去),即袋子中有4个黑球4分(Ⅱ)依题意:=0,1,2,3,411432911(0),(1)63CCppC5分2113242911(2)36CCCpC6分1132291(3)6CCpC7分22291(4)36CpC8分∴的分布列为[来源:学科网]10分[来源:Zxxk.Com]01234P6131113661361-7-914361461336112311610E12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意,每小时的燃料费用为20.5(050)xx,从甲地到乙地所用的时间为300x小时,2分则从甲地到乙地的运输成本xxxy3008003005.02,(050)x6分故所求的函数为230030016000.5800150()yxxxxx,(050)x.7分(Ⅱ)由(1)16001600150150212000yxxxx,9分当且仅当1600xx,即40x时取等号.…11分故当货轮航行速度为40海里/小时时,能使该货轮运输成本最少.12分21.(本小题满分12分)(文22题满分14分)解:(Ⅰ)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.且点Q在曲线C上,∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2521222>|AB|=4.∴曲线C是为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1.∴曲线C的方程为52x+y2=15分(Ⅱ)证法1:设,,MNE点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)MxyNxyEy,又易知B点的坐标为(2,0).且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.[来源:学科网]∵1EMMB,∴110111(,)(2,)xyyxy.∴11112x,1011yy.7分将M点坐标代入到椭圆方程中得:1)1()12(51210211y,-8-去分母整理,得0551020121y.10分同理,由2ENNB可得:0551020222y.∴1,2是方程05510202yxx的两个根,∴1021.12分(Ⅱ)证法2:设,,MNE点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)MxyNxyEy,又易知B点的坐标为(2,0).且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.显然直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l的方程是)2(xky.将直线l的方程代入到椭圆C的方程中,消去y并整理得052020)51(2222kxkxk.8分∴22215120kkxx,222151520kkxx.又∵1EMMB,则110111(,)(2,)xyyxy.∴1112xx,同理,由2ENNB,∴2222xx.10分∴10)(242)(22221212121221121xxxxxxxxxxxx.12分22.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c,∴232fxxaxb.1分∵f(x)在在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,∴当x=0时,f(x)取到极小值,即00f.∴b=0.3分(Ⅱ)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c,-9-∵1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0,∴c=1-a.5分∵2320fxxax的两个根分别为10x,223ax.∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点,∴2213ax,即32a.7分∴52841372faaa.故f(2)的取值范围为5,2.9分(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)知321fxxaxa,且32a.∵1是函数fx的一个零点,∴10f,∵()1,gxx∴(1)0g,∴点(1,0)是函数()fx和函数()gx的图像的一个交点.10分结合函数()fx和函数()gx的图像及其增减特征可知,当且仅当函数()fx和函数()gx的图像只有一个交点(1,0)时,()()fxgx的解集为(,1).即方程组321,1yxyxaxa(1)只有一个解10xy.11分由3211xaxax,得
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