2.3离散型随机变量的均值、方差习题课

离散型随机变量的期望与方差习题课要点梳理1.若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)=_________________________为随机变量X的均值或______________.它反映了离散型随机变量取值的__________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn数学期望平均水平平均偏离程度()DX算数平方根2.离散型随机变量的均值与方差nniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()(其中_________________为随机变量X的标准差.(2)方差称D(X)=为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。XDX为标准差3.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=__________.(2)D(aX+b)=________.(a,b为常数)4.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=_______.(2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________.aE(X)+ba2D(X)p(1-p)np(1-p)np【例1】设随机变量ξ具有分布P(ξ=k)=k=1,2,3,4,5,求Eξ2,D(2ξ-1),,51.)1(D.3515515514513512511)(E.11515514513512511)(22222E题型一、均值与方差性质的应用解∵利用性质E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)=a2D(ξ)..)()()()()()()(241014515135513451335132513122222D.2)()1(DDD(2ξ-1)=4D(ξ)=8,1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望和方差;(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.超几何分布题型二、求离散型随机变量的期望、方差练1.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若ξ表示取到次品的个数,则E(ξ)=____.解析ξ的取值为0,1,2,3,则.)(.CC)(;CCC)(;CCC)(;CC)(4314013709270331281101401370927033128110316343162411231614212316312EPPPP43练2.(2009·上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E(ξ)=______(结果用最简分数表示).解析ξ的可能取值为0,1,2,.7422111211002110)(,211CC)2(,2110CCC)1(,2110CC)0(27222712152725EPPP742.某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值;方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差.(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为：ξ01P0.40.6则Eξ=0×0.4+1×0.6=0.6,Dξ=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.(2)重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)，故Eξ=5×0.6=3.Dξ=5×0.6×0.4=1.2.点评点评求离散型随机变量的均值和方差，首先应明确随机变量的分布列.3.(2009·湖南理,17)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求的分布列及数学期望.,61,31,21二项分布解记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai、Bi、Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i、j、k=1,2,3且i,j、k互不相同)相互独立,且.)(,)(,)(613121321CPBPAP(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3).616131216,),,(~3313且B1313E233EEE(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η,由已知,4.某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为，且每个问题的解答互不影响．(1)求该同学答对问题的个数ξ的期望与方差；(2)设答对一个题目得10分，否则扣一分，求该同学得分η的期望与方差．[解](1)由题意知，解答这5个问题，答对的个数ξ服从二项分布，即ξ～B(5，23)，由二项分布的期望与方差的公式有Eξ＝np＝5×23＝103，Dξ＝npq＝5×23×(1－23)＝109.(2)∵该同学的得分η，η＝10ξ＋(5－ξ)×(－1)＝11ξ－5，∴得分η的期望为Eη＝E(11ξ－5)＝11Eξ－5＝11×103－5＝953，方差Dη＝D(11ξ－5)＝112×Dξ＝121×109＝12109.5.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已摸球的次数,(1)随机变量ξ的概率分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差.解(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,所以随机变量ξ的概率分布列为：;101CCCCCA)4(;103CCCCACA)3(;53CCCCC)2(121314151233131415122313221415121312PPPξ234P53103101(2)随机变量ξ的数学期望随机变量ξ的方差;2510141033532)(E.)()()()(20910125410325353252222D6.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是每次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相独立.(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望.,31解(1)记“该学生考上大学”为事件A，其对立事件为(2)参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5..])())(([C)(,)())((C)(,243131323231132323154155415APAPA则.)()(C)(;)(C)(;C)(;)()(2716323231527431323142743132313913124314213122XPXPXPXP故X的分布列为：答该生考上大学的概率为所求数学期望是X2345P912742742716.9382716527442743912)(XE.938,2431311.甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：9,921EXEX8.0,4.021DXDX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。题型三均值与方差的实际应用问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.49,921EXEX8.0,4.021DXDX2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：1400,140021EXEX1240000,160000DXDX因为EX1=EX2，DX1DX2，所以两个单位工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大些，就选择乙单位。3.某校设计了一个实验学科的实验考查方案，考生从6道备选题中一次性地随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．[解](1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ取值分别为1,2,3；η的取值分别为0,1,2,3.∵P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C22C36＝15，考生甲正确完成题数的概率分布列为：ξ123P153515Eξ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.乙完成题数23,3B∴考生乙做对题数η的期望为Eη＝nP＝3×23＝2.(2)Dξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，Dη＝npq＝23∴DξDη.从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定．从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．4.某公司有10万元资金用于投资，根据市场分析知道：如果投资甲项目，一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及Eξ；(2)假设把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．解：(1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.则ξ的分布列为：ξ10－1P121414Eξ＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为：η2－2Pαβ基础自测1.已知的分布列则在下列式子中：正确的个数是()A.0B.1C.2D.3-101P213161.31)0(③P;2723)(②;31)(①DE解析答案C.③.②,9561)311(31)310(21)311()(.①,3161121)1()(222正确由分布列知不正确故正确故DE2.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于()A.B.C.D.解析由分布列的性质,可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,∴E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+