2020年河南中考数学总复习考点精讲第16讲-相似三角形(3～13分)

第四章三角形第16讲相似三角形(3～13分)上一页下一页返回导航【版本导航】人教：九下第二十七章P23—P59；北师：九上第四章P75—P123；华师：九上第二十三章P47—P76.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航比例的性质1．基本性质：ab＝cd⇔①ad＝bc．(abcd≠0)2．合比性质：ab＝cd⇔a±bb＝c±dd(bd≠0)．ad＝bc上一页下一页返回导航黄金分割如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，且ACAB＝5－12≈0.618.一条线段有两个黄金分割点，简记为：长全＝短长＝5－12.上一页下一页返回导航平行线分线段成比例(10年1考)1．定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得到的对应线段成比例．上一页下一页返回导航相似三角形(10年10考)1．性质(1)相似三角形的②对应角相等，对应边③成比例；(2)相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于④相似比；(3)相似三角形的周长的比等于⑤相似比，面积比等于⑥相似比的平方．对应角成比例相似比相似比相似比的平方上一页下一页返回导航2．判定文字语言图形几何语言平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC三边对应成比例的两个三角形相似∵ABA′B′＝BCB′C′＝CAC′A′∴△ABC∽△A′B′C′上一页下一页返回导航文字语言图形几何语言两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似∵ABA'B'＝BCB'C'，∠B＝∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'两角分别相等的两个三角形相似∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'上一页下一页返回导航3.相似三角形的常见模型模型图形示例文字语言平行线型若DE∥BC，则△ADE∽△ABC斜交型若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC一线三等角型若∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE上一页下一页返回导航4.证明三角形相似的思路已知一对等角已知两边对应成比例已知是直角三角形1.找另一对等角2.找该角的两边对应成比例1.找夹角相等2.找第三边也对应成比例3.找这两个三角形是直角三角形1.找一对锐角相等2.找斜边和一对直角边对应成比例上一页下一页返回导航相似多边形1．定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．2．性质：(1)相似多边形的对应角⑦相等，⑧对应边成比例；(2)相似多边形的周长比等于⑨相似比，面积比等于⑩相似比的平方．相等对应边相似比相似比的平方上一页下一页返回导航位似1．定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．2．性质(1)任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；(2)任意一组对应点所在直线都相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上；(4)位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质.上一页下一页返回导航序号中考年份命题点平行线分线段成比例与相似三角形有关的计算12019年求线段长(15)，求线段长的比(22)22018年求线段长的比(22)32017年求点坐标(23)42016年求线段长(15)上一页下一页返回导航命题点序号中考年份平行线分线段成比例与相似三角形有关的计算52015年平行线分线段成比例(10)求线段长的比(22)62014年求线段长(20)72013年求线段长(20)82012年求线段长的比(22)92011年求线段长的比(23)102010年相似三角形的判定与性质(4)上一页下一页返回导航平行线分线段成比例(10年1考)例1(2015·河南10题)如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若DB＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝.【解析】∵DE∥AC，∴BDBA＝BEBC，即44＋2＝33＋EC.∴EC＝32.32上一页下一页返回导航满分技巧解决平行线分线段成比例问题，找准“对应线段”是关键．利用平行线分线段成比例求线段的长，关键在于正确理解“对应线段”，成比例的线段均在被截的直线上，并正确使用“上1下1＝上2下2，上1全1＝上2全2，下1全1＝下2全2(如图)”，构建含待求线段的比例式，从而运用方程思想求解．上一页下一页返回导航教材链接1．(人教九下P31练习1)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，求BCCE的值．解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE＝ADDF＝AG＋GDDF＝2＋15＝35.上一页下一页返回导航【变式训练】1．如图，a∥b∥c，BC＝1，DE＝4.5，EF＝1.5，则AC＝4．4上一页下一页返回导航与相似三角形有关的计算(10年10考)例2(2010·河南4题)如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③ADAE＝ABAC.其中正确的有()A．3个B．2个C．1个D．0个A上一页下一页返回导航【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC，BC＝2DE，故①正确；∴△ADE∽△ABC，故②正确；∴AEAC＝ADAB，即ADAE＝ABAC，故③正确，故选A．上一页下一页返回导航易错提醒混淆平行线分线段成比例与相似三角形对应边成比例而致错．如图，DE∥BC．由平行线分线段成比例，可得ADBD＝AEEC，易记为ADBD＝AEEC＝DEBC而致错；由相似三角形对应边成比例，可得ADAB＝AEAC＝DEBC，易记为ADBD＝AEEC＝DEBC而致错．上一页下一页返回导航教材链接2．(人教九下P42习题7)如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．上一页下一页返回导航解：∵AD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠ADB＝∠BAC＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA．∴ABBC＝BDAB，即410＝BD4.∴BD＝1.6cm.上一页下一页返回导航【变式训练】2．已知如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论：①DE∥BC；②OD＝14BC；③AO＝FO；④S△AOD＝14S△ABC．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4C上一页下一页返回导航命题点一平行线分线段成比例1．如图l1∥l2∥l3，若ABBC＝32，DF＝10，则DE＝()A．4B．6C．8D．9B上一页下一页返回导航2．(2019·镇平三模)如图，已知l1∥l2∥l3，直线l4，l5被这组平行线所截，且直线l4，l5相交于点E.已知AE＝EF＝1，FB＝3，则ACBD＝.14上一页下一页返回导航3．(2019·内乡二模)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE交直线AB，AC于点D，E.已知ADAB＝14，AC＝8，则CE＝6．6上一页下一页返回导航命题点二与相似三角形有关的计算4．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝.23上一页下一页返回导航5．如图，已知△ABC≌△DCE≌GEF，三条对应边BC，CE，EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC，DC，DE于点P，Q，K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为39．39上一页下一页返回导航6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD．证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°，∴△BDE∽△CAD．上一页下一页返回导航(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，AD＝AB2－BD2＝132－52＝12.∵12AD·BD＝12AB·DE，∴DE＝6013.上一页下一页返回导航7．(2019·鹿邑二模)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D，E，N分别是△ABC的AB，AC，BC边上的中点，连接AN，DE交于点M.(1)观察猜想：BDCE的值为；BDMN的值为．图13465上一页下一页返回导航(2)探究与证明：将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α角(0°＜α＜360°)，且△ADE内部的线段AM随之旋转，如图2所示．连接BD，CE，MN，试探究线段BD与CE和BD与MN之间分别有什么样的数量关系，并证明．图2解：BDCE＝34，BDMN＝65.理由如下：由题图1，可得DE∥BC．∴△ADE∽△ABC，△ADM∽△ABN.∴ADAB＝AEAC，AMAN＝ADAB.上一页下一页返回导航∵将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α角，∴∠DAB＝∠CAE＝α，且ADAB＝AEAC.∴△ADB∽△AEC．∴BDCE＝ABAC＝68＝34.∵∠BAD＝∠MAN＝α，且ADAB＝AMAN，∴△ABD∽△ANM.∴ABAN＝BDMN＝65.上一页下一页返回导航(3)拓展与延伸：△ADE在旋转的过程中，设直线CE与BD相交于点F.当∠CAE＝90°时，BF＝.当∠CAE＝90°时，BF＝45或455上一页下一页返回导航【提示】①当点E在线段AB上时，如解图1所示．CD＝11，BD＝AD2＋AB2＝35，CE＝AC2＋AE2＝45.同(2)的方法，可得△ADB∽△AEC．∵∠ABD＋∠BDA＝90°，∴∠DFC＝90°＝∠BAC，且∠ACE＝∠ACE.∴△FCD∽△ACE.∴CDCE＝FDAE.∴DF＝1145×4＝1155，即BF＝BD－DF＝455.②当点E在线段BA的延长线上时，如解图2所示．同理可得，BD＝35，BE＝10，∠BAC＝∠EFB＝90°.∴△ADB∽△FEB．∴BDBE＝ABBF，即BF＝6×1035＝45.综上所述，当∠CAE＝90°时，BF＝455或45.图1图2上一页下一页返回导航本讲练习题见精练册P43－P46谢谢观看！