高考理科概率大题

1高三数学总复习概率大题集锦1.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗均匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。（1）设（i,j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为（2，3）、（2，4）（2，4′）、（3，2）、（3，4）、（3，4′）、（4，2）、（4，3）、（4，4′）、（4，2′）、（4′，3）、（4′，4），共12种不同情况。……4分（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4。因此乙抽到的牌的数字大3的概率为;32……………………8分（3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）（4′，2）、（4′，3）共5种………………11分甲胜的概率p1=125，乙获胜的概率为,1272p,127125∴此游戏不公平………………………………12分2.甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负．（1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率；（2）求甲队获得冠军的概率；解：（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场,依题意得20736.04.06.0)(434CMP．（2）设甲队获得冠军为事件E，则E包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们被彼此互斥．∴710208.04.06.04.06.04.06.06.0)(343624354344CCCEP．3.一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率4416;5525P……………………6分（Ⅱ）取到黑球时取球次数为1次，2次，3次的事件，分别记为A、B、C．21()5PA，414()5525PB，24116()()55125PC所以，取球次数不超过3次的概率是()()()()PABCPAPBPC＝15＋425＋16125=61125．答：取球次数不超过3次的概率是61125．…………………………………………12分4.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为6的概率；（2）两数之积是6的倍数的概率；（3）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在直线x－y=3的下方区域的概率（1）两数之和为6的概率为365（2）此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由下面的列表可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)=3615=125,两数之积是6的倍数的概率为1256.两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知1p1,1p2是方程x2－5x+6=0的根，若两人各射击5次，甲的方差是54．1求p1、p2的值；2两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？3两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？解析：1由题意可知甲~B(5,p1)，∴D甲=5p11－p1=54p12－p1+14=0p1=12．2分；又1p1·1p2=6，∴p2=13．3分2两类情况：共击中3次概率C22122120×C12131231+C12121121×C22132130=16；共击中4次概率C22122120×C22132230=136．6分所求概率为16+136=736．8分3设事件A,B分别表示甲、乙能击中．∵A,B互相独立（9分），∴PA·B=PAPB=1－PA1－PB=1－p11－p2=12×23=13（11分），∴1－PA·B=323为所求概率．12分评析：这一类型的试题在连续几年的新课程卷都出现了，重点考查了分类讨论的数学思想，体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决实际问题的能力．该题仍然是常规题，要求考生耐心细致，审题能力较强，并善于利用材料进行分析说明．7.有甲、乙两个篮球运动员，每人各投篮三次，甲三次投篮命中率均为53；乙第一次在距离8米处投篮命中率为43，若第一次投篮未中，则乙进行第二次投篮，但距离为12米，如果又未中，则乙进行第三次投篮，并且在投篮时距离为16米，乙若投中，则不再继续投篮，且知乙命中的概率与距离的平方成反比.（Ⅰ）求甲三次投篮命中次数ξ的期望与方差；（Ⅱ）求乙投篮命中的概率.解：（Ⅰ）甲三次投篮的命中次数ξ服从二项分布，即)53,3(~B，…………2分则393,55Enp………………………………4分32183.5525Dnpq…………………………6分（Ⅱ）记乙三次投篮依次为事件A、B、C，设乙命中概率与距离的平方成反比的比例系数为a，则由题意得23(),4884aPAa……………………………………7分21()123aPB…………………………8分.16316)(2aCP……………………9分故乙投篮命中的概率为)()()()()()()()()(CPBPAPBPAPAPCBAPBAPAPP.96831633241314143………………………………12分8.某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。（Ⅰ）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是41、32、52，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；（Ⅱ）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是31，求这一时段该办公室电脑数无法满足需求的概率。解：（Ⅰ）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是：315232)411(52)321(41)521(3241)()()(BCAPCBAPCABPp（Ⅱ）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M，有5位教师同时需要使用电脑的事件为N，2,4,64P（M）=)32()31(445C531Np…10分所以，所求的概率是：P=P（M）+P（N）=24311)31()32()31(5445C。…12分9.一个口袋内装有大小相同的4个红球和6个白球。(1)从中任摸2个球，求摸出的2个球颜色不同的概率；(2)从中任摸4个球，求摸出的4个球中红球数不少于白球数的概率；（3）每次从中任摸4个球，放回后再摸4个球，如此反复三次，求三次中恰好有一次4个球都是白球的概率．解：(1)记从中任摸2个球，摸出的2个球颜色不同为事件A,则A所含的基本事件数为1146CC,事件总数为210C1146210248()4515CCPAC------------------------------4分(2)记任摸4个球，摸出的4个球中红球数不少于白球数为事件B,则事件B可分为三类：4个红球，3个红球1个白球，2个红球2个白球，故B包含的基本事件的个数为：4312244646CCCCC∵基本事件的总数为410C--------------------6分431224464641011523()21042CCCCCPBC.-------------------------8分(3)每次从中任摸4个球，4个球都是白球的概率46410114CPC,-----------------10分由独立重复试验可得，三次中恰好有一次4个球都是白球的概率12311507(1)14142744PC---------------------------12分12.一个口袋中装有n个红球（5n且nN）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；（Ⅱ）若5n，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；解：（Ⅰ）一次摸奖从5n个球中任选两个，有25nC种，它们等可能，其中两球不同色有115nCC种，………………………2分一次摸奖中奖的概率10(5)(4)npnn．………………………4分5（Ⅱ）若5n，一次摸奖中奖的概率59p,………………………6分三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是123380(1)(1)243PCpp．………………………8分14.在2008年春运期间，一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择，即坐火车或汽车。已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到。若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票。（I）求这名大学生先去买火车票的概率；（II）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为求,的期望值。解：（I）设先去买火车票的概率为P（A），先去买汽车票的概率为P（B），则由条件可知.25.0)(,75.0)(.1)()(),(3)(BPAPBPAPBPAP解之得即先去买火车票的概率为0.75.…………4分（II）解：该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为.45.06.075.0…………6分∴该大学生买汽车票的概率为.55.045.01…………8分设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：ξ120280P0.450.55∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值为.20855.028045.0120)(E…………12分15.甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为53，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.（I）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；（II）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；（III）求甲取得比赛胜利的概率.（I）解：只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：.251254531P…………4分（II）解：只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：.2518535254532P…………8分（III）解：甲取得比赛胜利共有三种情形：6若甲胜乙，甲胜丙，则概率为25125453；若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为6252753535153；若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为.6254853545252所以，甲获胜的概率为.5362548625272512…………13分16.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31，从B中摸出一个红球的概率为p．(Ⅰ)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p的值．解：(Ⅰ)（ⅰ）32351240.33243C（ⅱ