2015年中考数学总复习第16课时 等腰三角形

2015年中考数学总复习第一轮第16课时等腰三角形江西瑞昌梁先爱考点聚焦考点1垂直平分线的性质和判定1．如图16－1所示，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AC于点E，△ABC的周长为28cm，AB＝10cm，则△BCE的周长为()A．10cmB．18cmC．28cmD．38cm图16－1B第16课时等腰三角形2．如图16－2所示，用两根钢索加固直立的电线杆AD，若要使钢索AB与AC的长度相等，需使BD________CD，理由是____________________________________________________．图16－2＝线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等第16课时等腰三角形【归纳总结】垂直平分线的性质垂直平分线的判定相等垂直平分线第16课时等腰三角形线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上考点2等腰三角形的定义及性质1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为()A．20°B．40°C．50°D．80°A第16课时等腰三角形2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是____________________．2.16cm或17cm3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是_____cm.8【归纳总结】1．等腰三角形的定义：有两条边相等相等三线合一1第16课时等腰三角形______________的三角形是等腰三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角________；(3)等腰三角形是轴对称图形，有________条对称轴．(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称____________；考点3等腰三角形的判定1．根据下列条件，能判断△ABC是等腰三角形的是()A．∠A＝80°，∠B＝60°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝50°，∠B＝70°B第16课时等腰三角形2．如图16－3所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D.请你再添加一个条件，使△ABC是等腰三角形．你添加的条件是______________________________________．图16－3第16课时等腰三角形答案不唯一，如BD＝CD或∠BAD＝∠CAD考点4等边三角形的性质及其判定1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上的高的长度为________．33cm第16课时等腰三角形证明：∵DC＝DB，第16课时等腰三角形2．如图16－4，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形．图16－4∴∠B＝∠DCB＝30°.∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.又∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形．【归纳总结】等边三角形的性质等边三角形的判定相等60°360°第16课时等腰三角形(1)等边三角形的各角都____，并且每—个角都等于____(2)等边三角形是轴对称图形，有_____条对称轴(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形中考探究探究一线段垂直平分线的有关计算题例1如图16－5所示，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AB＝15cm，△BDC的周长为25cm，求BC的长．图16－5[解析]根据MN是AB的垂直平分线，可得第16课时等腰三角形BD＝AD.则BD＋CD而△BCD的周长为25cm，AB＝AC＝15cm，由此可求BC的长为．＝AD＋CD＝AC.10cm这里没有单独求BD，CD的长度，而是求BD＋CD的长度，这是数学中常用的整体求解法．同时，利用线段垂直平分线的性质将BD＋CD转化为AC，体现了转化思想的应用．第16课时等腰三角形探究二等腰三角形的多解问题例2[2014·扬州]若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为________cm.35[解析]分两种情况讨论：第16课时等腰三角形(1)若等腰三角形的两条腰长为7cm，底边长为14cm，因为7＋7＝14，所以这个三角形不存在；(2)若等腰三角形的两条腰长为14cm，底边长为7cm，因为14＋147，所以该三角形存在，其周长为35cm.当已知等腰三角形的两条边长时，若没有明确边的类型，要分已知边是底边还是腰两种情况进行讨论，再根据三角形三边关系作出判断：第16课时等腰三角形三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边，[2014•吉安模拟]已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是()A．55°，55°B．70°，40°C．55°，55°或70°，40°D．以上都不对C第16课时等腰三角形变式题探究三等腰三角形的性质例3[2014•苏州]如图16－6所示，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为()A．30°B．40°C．45°D．60°图16－6B第16课时等腰三角形解：在△ABD中，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝80°.在△ADC中，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C.又∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，∴∠B＝2∠C，∴∠C＝40°.解这类题的关键是灵活运用等腰三角形的性质，同时要结合三角形内角和及平行线的性质．第16课时等腰三角形探究四等腰三角形的判定例4[2014•襄阳]如图16－7所示，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．第16课时等腰三角形图16－7解：(1)①②；第16课时等腰三角形例4三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．①③.(2)选①②证明如下：在△BOE和△COD中，∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，∴△BOE≌△COD.∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．第16课时等腰三角形选①③证明如下：例4三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．在△BOC中，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2.∵∠EBO＝∠DCO，∴∠EBO＋∠1＝∠DCO＋∠2，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．判定一个三角形是等腰三角形的方法：第16课时等腰三角形①直接证明三角形的两条边相等；②证明三角形的两个角相等．本题属于条件开放型问题，按照题目要求，选择两个条件，使得结论成立．这种问题一般应将所给条件进行组合，看有几种不同的组合，再看哪些组合可以满足要求，然后将符合要求的组合挑出来作为答案．变式题[2013•萍乡模拟]如图16－8，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．图16－8第16课时等腰三角形证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°.在Rt△ACB和Rt△BDA中，∵AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)．∴BC＝AD.(2)∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CAB＝∠DBA，∴OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形．探究五等边三角形的性质与判定例5如图16－9，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN交CM于点E，BM交CN于点F.求证：(1)CE＝CF；(2)EF∥AB.图16－9第16课时等腰三角形[解析](1)由等边三角形的性质，得△ACN与△MCB全等，得到相等的角，再通过证△ACE与△MCF全等，证得结论；(2)先证△CEF是等边三角形，通过特殊角证明角相等，得到平行线．证明：(1)∵△ACM，△CBN是等边三角形，第16课时等腰三角形∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB，∴∠CAN＝∠CMB.∴△ACE≌△MCF，∴CE＝CF.(2)∵CE＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠EFC＝60°＝∠NCB，∴EF∥AB.变式题如图16－10(a)，在等边三角形ABC的边AC的延长线上取一点E，以CE为边作等边三角形CDE，使它与△ABC位于直线AE的同侧，连接AD，EB，交于点R，AD交BC于点P，BE交CD于点Q.(1)同学们对图(a)进行了热烈的讨论，猜想出如下结论，你认为正确的有________．(填序号)①△ACD≌△BCE；②△ACP≌△BCQ；③△DCP≌△ECQ；④∠ARB＝60°；⑤△CPQ是等边三角形．第16课时等腰三角形图16－10(2)当等边三角形CED绕点C旋转一定角度后(如图(b))，(1)中有哪些结论仍成立？并选择其中一个成立的结论进行证明．图16－10第16课时等腰三角形解：(1)①②③④⑤(2)①④仍成立．证明如下：由已知AC＝BC，CD＝CE，∠ACP＝∠ECQ＝60°，∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE，∴∠PBR＝∠PAC，又∵∠BPR＝∠APC，第16课时等腰三角形∴在△BPR和△APC中有两对角相等，∴由三角形内角和为定值180°，可得∠ARB＝∠ACB＝60°.等边三角形的三边相等并且每个角都等于60°，所以要充分利用等边三角形的性质，证明全等或者构造全等．第16课时等腰三角形